ขนาดของแผนที่เป็นอัตราส่วนของระยะทางบนแผนที่กับระยะทางที่สอดคล้องกันบนพื้นดิน แนวคิดนี้เรียบง่ายมีความซับซ้อนโดยความโค้งของโลกพื้นผิว 's ซึ่งกองกำลังขนาดแตกต่างกันไปทั่วแผนที่ เนื่องจากความผันแปรนี้ แนวคิดเรื่องมาตราส่วนจึงมีความหมายในสองวิธีที่แตกต่างกัน Show
สารบัญ Show
มาตราส่วนแบบกราฟิกหรือแบบแท่ง แผนที่มักจะให้มาตราส่วนเป็นตัวเลขด้วย (เช่น "1:50,000" หมายความว่า 1 ซม. บนแผนที่แสดงถึงพื้นที่จริง 50,000 ซม. ซึ่งก็คือ 500 เมตร) มาตราส่วนแท่งที่มีมาตราส่วนเล็กน้อย แสดงเป็นทั้ง "1 ซม. = 6 กม." และ "1:600 000" (เทียบเท่า เพราะ 6 กม. = 600,000 ซม.) วิธีแรกคืออัตราส่วนของขนาดของโลกที่สร้างต่อขนาดของโลก ลูกโลกกำเนิดเป็นแบบจำลองแนวคิดที่โลกกำลังหดตัวและแผนที่ถูกฉายออกมา อัตราส่วนของขนาดโลกต่อขนาดของโลกที่สร้างเรียกว่ามาตราส่วนเล็กน้อย (= มาตราส่วนหลัก = เศษส่วนตัวแทน ) แผนที่หลายแห่งระบุมาตราส่วนที่ระบุและอาจแสดงมาตราส่วนแบบแท่ง (บางครั้งเรียกว่า 'มาตราส่วน') เพื่อแสดงถึงมาตราส่วน แนวคิดที่แตกต่างกันประการที่สองของมาตราส่วนนำไปใช้กับความแปรผันของมาตราส่วนทั่วทั้งแผนที่ เป็นอัตราส่วนของมาตราส่วนของจุดที่จับคู่กับมาตราส่วนเล็กน้อย ในกรณีนี้ 'มาตราส่วน' หมายถึงตัวประกอบมาตราส่วน (= มาตราส่วนจุด = มาตราส่วนเฉพาะ ) หากพื้นที่ของแผนที่มีขนาดเล็กพอที่จะมองข้ามความโค้งของโลก เช่น ในผังเมือง ค่าเดียวก็สามารถใช้เป็นมาตราส่วนได้โดยไม่ทำให้เกิดข้อผิดพลาดในการวัด ในแผนที่ที่ครอบคลุมพื้นที่ขนาดใหญ่หรือทั้งโลก มาตราส่วนของแผนที่อาจมีประโยชน์น้อยกว่าหรือไร้ประโยชน์แม้ในการวัดระยะทาง การฉายภาพแผนที่มีความสำคัญอย่างยิ่งในการทำความเข้าใจว่ามาตราส่วนแตกต่างกันอย่างไรทั่วทั้งแผนที่ [1] [2]เมื่อมาตราส่วนแตกต่างกันอย่างเห็นได้ชัด สามารถนำมาพิจารณาเป็นปัจจัยมาตราส่วน ตัวบ่งชี้ของ Tissotมักใช้เพื่อแสดงให้เห็นการเปลี่ยนแปลงของมาตราส่วนจุดบนแผนที่ รากฐานสำหรับการปรับขนาดแผนที่เชิงปริมาณย้อนกลับไปในสมัยโบราณของจีนพร้อมหลักฐานที่เป็นข้อความว่าศตวรรษที่สองก่อนคริสต์ศักราชเข้าใจแนวคิดเรื่องการปรับขนาดแผนที่ สำรวจจีนโบราณและ cartographers มีทรัพยากรเพียงพอทางเทคนิคที่ใช้ในการผลิตแผนที่เช่นแท่งนับ , ช่างไม้ตาราง 's, เส้นตรง , เข็มทิศสำหรับการวาดภาพวงกลมและเห็นหลอดสำหรับการวัดความโน้มเอียง กรอบอ้างอิงที่จำลองระบบพิกัดตั้งไข่เพื่อระบุสถานที่นั้นถูกบอกใบ้โดยนักดาราศาสตร์จีนโบราณที่แบ่งท้องฟ้าออกเป็นส่วนต่างๆ หรือบ้านพักบนดวงจันทร์ [3] นักทำแผนที่และนักภูมิศาสตร์ชาวจีนPei Xiuแห่งยุคสามก๊กได้สร้างชุดแผนที่พื้นที่ขนาดใหญ่ที่มีขนาด เขาสร้างชุดของหลักการที่เน้นถึงความสำคัญของการปรับขนาดที่สอดคล้องกัน การวัดทิศทาง และการปรับการวัดที่ดินในภูมิประเทศที่กำลังทำแผนที่ [3] การเป็นตัวแทนของมาตราส่วนมาตราส่วนแผนที่อาจแสดงเป็นคำ (มาตราส่วนศัพท์) เป็นอัตราส่วน หรือเป็นเศษส่วน ตัวอย่างคือ: 'หนึ่งเซนติเมตรถึงหนึ่งร้อยเมตร' หรือ 1:10,000 หรือ 1/10,000'หนึ่งนิ้วถึงหนึ่งไมล์' หรือ 1:63,360 หรือ 1/63,360'หนึ่งเซนติเมตรถึงหนึ่งพันกิโลเมตร' หรือ 1:100,000,000 หรือ 1/100,000,000 (อัตราส่วนมักจะย่อเป็น 1:100M)มาตราส่วนแบบแท่งเทียบกับมาตราส่วนศัพท์นอกเหนือจากแผนที่ด้านบนแล้ว หลายแผนที่ยังมีสเกลบาร์ (กราฟิก) หนึ่ง แท่งขึ้นไป ตัวอย่างเช่น แผนที่อังกฤษสมัยใหม่บางแผนที่มีมาตราส่วนสามแท่ง แต่ละแผนที่สำหรับกิโลเมตร ไมล์ และไมล์ทะเล มาตราส่วนคำศัพท์ในภาษาที่ผู้ใช้รู้จักอาจมองเห็นได้ง่ายกว่าอัตราส่วน: หากมาตราส่วนเป็นนิ้วถึงสองไมล์และผู้ใช้แผนที่สามารถเห็นสองหมู่บ้านที่อยู่ห่างกันประมาณสองนิ้วบนแผนที่ ก็เป็นเรื่องง่าย เพื่อหาว่าหมู่บ้านต่างๆ อยู่ห่างกันประมาณสี่ไมล์บนพื้นดิน ศัพท์ขนาดอาจทำให้เกิดปัญหาถ้ามันแสดงในภาษาที่ผู้ใช้ไม่เข้าใจหรือในหน่วยล้าสมัยหรือป่วยกำหนด ตัวอย่างเช่นผู้สูงอายุจำนวนมากในประเทศที่หน่วยของจักรวรรดิเคยสอนในโรงเรียนจะเข้าใจมาตราส่วนตั้งแต่หนึ่งนิ้วถึงเฟอร์ลอง (1:7920) แต่สเกลของหนึ่งpouceต่อหนึ่งลีกอาจอยู่ที่ประมาณ 1:144,000 ขึ้นอยู่กับตัวเลือกของนักทำแผนที่สำหรับคำจำกัดความที่เป็นไปได้มากมายสำหรับลีก และผู้ใช้สมัยใหม่ส่วนน้อยเท่านั้นที่จะคุ้นเคยกับยูนิตที่ใช้ ขนาดใหญ่ ขนาดกลาง ขนาดเล็กตรงกันข้ามกับอวกาศขนาดแผนที่จัดเป็นขนาดเล็กหรือขนาดใหญ่หรือบางครั้งขนาดกลาง ขนาดเล็กหมายถึงแผนที่โลกหรือแผนที่ของภูมิภาคขนาดใหญ่ เช่น ทวีปหรือประเทศขนาดใหญ่ กล่าวอีกนัยหนึ่งคือแสดงพื้นที่ขนาดใหญ่บนพื้นที่ขนาดเล็ก เรียกว่าสเกลเล็กเพราะเศษส่วนตัวแทนค่อนข้างเล็ก แผนที่ขนาดใหญ่จะแสดงพื้นที่ขนาดเล็กในรายละเอียดมากขึ้น เช่น แผนที่ของเทศมณฑลหรือแผนผังเมือง แผนที่ดังกล่าวเรียกว่าขนาดใหญ่เนื่องจากเศษส่วนตัวแทนมีขนาดค่อนข้างใหญ่ ตัวอย่างเช่น ผังเมือง ซึ่งเป็นแผนที่ขนาดใหญ่ อาจมีมาตราส่วน 1:10,000 ในขณะที่แผนที่โลก ซึ่งเป็นแผนที่ขนาดเล็ก อาจมีมาตราส่วน 1:100,000,000 ตารางต่อไปนี้อธิบายช่วงทั่วไปสำหรับเครื่องชั่งเหล่านี้ แต่ไม่ควรถือว่าเชื่อถือได้เนื่องจากไม่มีมาตรฐาน: คำศัพท์บางครั้งใช้ในความหมายที่แน่นอนของตาราง แต่บางครั้งใช้ในความหมายที่สัมพันธ์กัน ตัวอย่างเช่น เครื่องอ่านแผนที่ที่มีงานอ้างถึงแผนที่ขนาดใหญ่เท่านั้น (ตามตารางด้านบน) อาจอ้างถึงแผนที่ที่ 1:500,000 ว่าเป็นแผนที่ขนาดเล็ก ในภาษาอังกฤษ คำว่าlarge-scaleมักใช้เพื่อหมายถึง "กว้างขวาง" อย่างไรก็ตาม ตามที่ได้อธิบายไว้ข้างต้น นักทำแผนที่ใช้คำว่า "ขนาดใหญ่" เพื่ออ้างถึงแผนที่ที่กว้างน้อยกว่าซึ่งแสดงพื้นที่ที่เล็กกว่า แผนที่ที่แสดงพื้นที่กว้างขวางเป็นแผนที่ "ขนาดเล็ก" นี่อาจเป็นสาเหตุของความสับสน รูปแบบมาตราส่วนการทำแผนที่พื้นที่ขนาดใหญ่ทำให้เกิดการบิดเบือนที่เห็นได้ชัดเจน เพราะมันทำให้พื้นผิวโค้งของโลกราบเรียบอย่างมีนัยสำคัญ วิธีการบิดเบือนได้รับการกระจายขึ้นอยู่กับการฉายภาพแผนที่ มาตราส่วนแตกต่างกันไปตามแผนที่และมาตราส่วนแผนที่ที่ระบุเป็นเพียงการประมาณเท่านั้น นี้จะกล่าวถึงในรายละเอียดด้านล่าง บริเวณที่โลกสามารถถือได้ว่าแบนนั้นขึ้นอยู่กับความแม่นยำของการวัดแบบสำรวจ หากวัดได้เพียงเมตรที่ใกล้ที่สุดความโค้งของโลกจะไม่สามารถตรวจพบได้ในระยะทางเมริเดียนประมาณ 100 กิโลเมตร (62 ไมล์) และเหนือแนวตะวันออก-ตะวันตกประมาณ 80 กม. (ที่ละติจูด 45 องศา) หากสำรวจให้ใกล้ที่สุด 1 มิลลิเมตร (0.039 นิ้ว) แล้ว จะตรวจไม่พบความโค้งในระยะทางเมริเดียนประมาณ 10 กม. และเหนือแนวตะวันออก-ตะวันตกประมาณ 8 กม. [4]ดังนั้น แผนผังของนครนิวยอร์กที่มีความแม่นยำถึงหนึ่งเมตรหรือแผนผังของอาคารที่มีความแม่นยำถึงหนึ่งมิลลิเมตรจะเป็นไปตามเงื่อนไขข้างต้นสำหรับการละเลยความโค้ง พวกมันสามารถรักษาได้โดยการสำรวจระนาบและทำแผนที่โดยแบบวาดมาตราส่วน ซึ่งจุดสองจุดที่ระยะห่างเท่ากันบนแบบวาดนั้นอยู่ที่ระยะเท่ากันบนพื้น ระยะทางภาคพื้นดินที่แท้จริงคำนวณโดยการวัดระยะทางบนแผนที่แล้วคูณด้วยผกผันของเศษส่วนมาตราส่วน หรือเทียบเท่ากัน เพียงแค่ใช้ตัวแบ่งเพื่อถ่ายโอนการแยกระหว่างจุดต่างๆ บนแผนที่ไปยังมาตราส่วนแบบแท่งบนแผนที่ ความแปรผันของความสูงจากระดับพื้นดินลงไปที่พื้นผิวของทรงกลมหรือทรงรี จะเปลี่ยนมาตราส่วนของการวัดระยะทางด้วยเช่นกัน [5] ตามที่พิสูจน์โดยTheorema EgregiumของGaussทรงกลม (หรือทรงรี) ไม่สามารถฉายบนระนาบได้โดยไม่มีการบิดเบือน โดยทั่วไปจะเห็นได้จากความเป็นไปไม่ได้ในการทำให้เปลือกส้มเรียบลงบนพื้นผิวเรียบโดยไม่ฉีกขาดและทำให้เสียรูป การเป็นตัวแทนจริงเฉพาะของทรงกลมในระดับคงที่เป็นทรงกลมอื่น ๆ เช่นโลก ด้วยขนาดลูกโลกที่ใช้งานได้จริงอย่างจำกัด เราจึงต้องใช้แผนที่สำหรับการทำแผนที่โดยละเอียด แผนที่ต้องมีการฉายภาพ การฉายภาพแสดงถึงการบิดเบือน: การแยกอย่างต่อเนื่องบนแผนที่ไม่สอดคล้องกับการแยกอย่างต่อเนื่องบนพื้นดิน แม้ว่าแผนที่อาจแสดงมาตราส่วนกราฟแท่ง แต่ต้องใช้มาตราส่วนด้วยความเข้าใจว่าจะแม่นยำเพียงบางบรรทัดของแผนที่ (จะมีการอธิบายเพิ่มเติมในตัวอย่างในส่วนต่อไปนี้) ให้Pเป็นจุดละติจูดφ{\displaystyle \varphi } คำที่เกี่ยวข้อง: ขนาดจุดที่ P คืออัตราส่วนของทั้งสองระยะทาง P'Q และ PQ ในขีด จำกัด ที่ Q แนวทางพีเราเขียนนี้เป็น μ(λ,φ,α)=ลิมคิว→พีพี′คิว′พีคิว,{\displaystyle \mu (\lambda ,\,\varphi ,\,\alpha )=\lim _{Q\to P}{\frac {P'Q'}{PQ}},}โดยที่สัญกรณ์ระบุว่ามาตราส่วนจุดเป็นหน้าที่ของตำแหน่งของ P และทิศทางขององค์ประกอบ PQ ด้วย คำจำกัดความ:ถ้า P และ Q อยู่บนเส้นเมอริเดียนเดียวกัน(α=0){\displaystyle (\alpha =0)} คำจำกัดความ:ถ้า P และ Q อยู่บนเส้นขนานเดียวกัน(α=พาย/2){\displaystyle (\alpha =\pi/2)} คำจำกัดความ:ถ้ามาตราส่วนจุดขึ้นอยู่กับตำแหน่งเท่านั้น ไม่ใช่ทิศทาง เราบอกว่ามันเป็นไอโซโทรปิกและกำหนดค่าของมันในทิศทางใดๆ ด้วยตัวประกอบมาตราส่วนคู่ขนานตามอัตภาพk(λ,φ){\displaystyle k(\lambda ,\varphi )} คำจำกัดความ:การฉายภาพแผนที่จะเป็นไปตามรูปแบบถ้ามุมระหว่างเส้นคู่หนึ่งตัดกันที่จุด P เท่ากับมุมระหว่างเส้นที่ฉายที่จุด P ' สำหรับเส้นคู่ทั้งหมดที่ตัดกันที่จุด P แผนที่ Conformal มีตัวประกอบมาตราส่วนไอโซโทรปิก ในทางกลับกัน สเกลแฟกเตอร์แบบไอโซโทรปิกทั่วทั้งแผนที่บ่งบอกถึงการฉายภาพตามรูปแบบ Isotropy of Scale บอกเป็นนัยว่าองค์ประกอบขนาดเล็กถูกยืดออกเท่า ๆ กันในทุกทิศทาง นั่นคือรูปร่างขององค์ประกอบขนาดเล็กจะถูกรักษาไว้ นี่คือคุณสมบัติของorthomorphism (จากภาษากรีก 'รูปร่างที่ถูกต้อง') คุณสมบัติ 'เล็ก' หมายความว่าในความแม่นยำในการวัดที่กำหนด จะไม่สามารถตรวจพบการเปลี่ยนแปลงในตัวประกอบมาตราส่วนเหนือองค์ประกอบ เนื่องจากการคาดคะเนตามรูปแบบมีสเกลแฟกเตอร์แบบไอโซโทรปิก พวกมันจึงถูกเรียกว่าการคาดคะเนออร์โธมอร์ฟิค ยกตัวอย่างเช่นการฉาย Mercator เป็นมาตราส่วนตั้งแต่มันถูกสร้างขึ้นมาเพื่อรักษามุมและปัจจัยระดับของมันคือไอโซโทปการทำงานของเส้นรุ้งเพียง: Mercator ที่จะรักษารูปร่างขนาดเล็กในภูมิภาค ความหมาย:ในการฉายมาตราส่วนที่มีขนาด isotropic จุดซึ่งมีค่าระดับเดียวกันอาจจะเข้าร่วมในรูปแบบสาย isoscale สิ่งเหล่านี้ไม่ได้ถูกวางแผนไว้บนแผนที่สำหรับผู้ใช้ปลายทาง แต่มีคุณลักษณะในข้อความมาตรฐานหลายฉบับ (ดู สไนเดอร์[1]หน้า 203–206.) เศษส่วนตัวแทน (RF) หรือมาตราส่วนหลักมีอนุสัญญาสองแบบที่ใช้ในการกำหนดสมการของการฉายภาพใดๆ ตัวอย่างเช่น โครงรูปทรงกระบอกทรงรีอาจเขียนเป็น ในที่นี้ เราจะนำอนุสัญญาฉบับแรกมาใช้ (ตามการใช้งานในแบบสำรวจโดยสไนเดอร์) เห็นได้ชัดว่าสมการการฉายภาพด้านบนกำหนดตำแหน่งบนทรงกระบอกขนาดใหญ่ที่พันรอบโลกแล้วคลี่ออก เราบอกว่าพิกัดเหล่านี้กำหนดแผนที่การฉายภาพซึ่งต้องแยกแยะตามหลักเหตุผลจากแผนที่ที่พิมพ์ (หรือดู) จริง หากคำจำกัดความของมาตราส่วนจุดในส่วนก่อนหน้านั้นอยู่ในเงื่อนไขของแผนที่การฉาย เราสามารถคาดได้ว่าปัจจัยมาตราส่วนจะใกล้เคียงกับความสามัคคี สำหรับการฉายภาพทรงกระบอกแทนเจนต์ปกติ มาตราส่วนตามแนวเส้นศูนย์สูตรคือ k=1 และโดยทั่วไปแล้ว มาตราส่วนจะเปลี่ยนไปเมื่อเราเคลื่อนตัวออกจากเส้นศูนย์สูตร การวิเคราะห์มาตราส่วนบนแผนที่การฉายภาพเป็นการตรวจสอบการเปลี่ยนแปลงของ k ที่อยู่ห่างจากมูลค่าที่แท้จริงของความสามัคคี แผนที่ที่พิมพ์จริงสร้างจากแผนที่ฉายโดยมาตราส่วนคงที่ซึ่งแสดงด้วยอัตราส่วน เช่น 1:100M (สำหรับแผนที่โลกทั้งใบ) หรือ 1:10000 (สำหรับเช่นผังเมือง) เพื่อหลีกเลี่ยงความสับสนในการใช้คำว่า 'มาตราส่วน' เศษส่วนคงที่นี้เรียกว่าเศษส่วนตัวแทน (RF) ของแผนที่ที่พิมพ์ออกมา และจะต้องระบุด้วยอัตราส่วนที่พิมพ์บนแผนที่ พิกัดแผนที่ที่พิมพ์จริงสำหรับการฉายภาพทรงกระบอกรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าคือ พิมพ์แผนที่: x=(RF)λ{\displaystyle x=(RF)a\lambda }ข้อตกลงนี้ช่วยให้เห็นความแตกต่างที่ชัดเจนของการปรับขนาดการฉายภาพที่แท้จริงและการปรับขนาดการลดลง จากจุดนี้ เราจะเพิกเฉย RF และทำงานกับแผนที่การฉาย การฉายภาพ Winkel tripel กับตัว บ่งชี้การเสียรูปของ Tissot พิจารณาวงกลมเล็กๆ บนพื้นผิวโลกที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุด P ที่ละติจูด φ{\displaystyle \varphi } มาตราส่วนจุดสำหรับการฉายภาพทรงกระบอกปกติของทรงกลมกุญแจสู่ความเข้าใจเชิงปริมาณของมาตราส่วนคือการพิจารณาองค์ประกอบเล็ก ๆ บนทรงกลม รูปแสดงจุด P ที่ละติจูดφ{\displaystyle \varphi } องค์ประกอบเล็ก ๆ บนทรงกลมและการฉายภาพทรงกระบอกปกติ การคาดคะเนรูปทรงกระบอกปกติของทรงกลมมี x=λ{\displaystyle x=a\แลมบ์ดา } สังเกตว่าตัวประกอบมาตราส่วนขนาน k=วินาทีφ{\displaystyle k=\sec \varphi } ตัวอย่างต่อไปนี้แสดงให้เห็นถึงสามประมาณการทรงกระบอกปกติและในแต่ละกรณีการเปลี่ยนแปลงของขนาดกับตำแหน่งและทิศทางที่จะแสดงโดยใช้indicatrix Tissot ของ สามตัวอย่างของการฉายภาพทรงกระบอกปกติการฉายภาพสี่เหลี่ยมจตุรัสการฉายภาพที่เท่ากันกับตัว บ่งชี้การเสียรูปของ Tissot ฉาย equirectangular , [1] [2] [4]ยังเป็นที่รู้จักจาน Carree (ฝรั่งเศสสำหรับ "สแควร์แบน") หรือ (ค่อนข้างทำให้เข้าใจผิด) ประมาณการเท่ากัน, จะถูกกำหนดโดย x=λ,{\displaystyle x=a\แลมบ์ดา ,}ที่ไหน {\displaystyle a} ตั้งแต่ y′(φ)=1{\displaystyle y'(\varphi )=1} การคำนวณขนาดจุดในทิศทางโดยพลการที่เห็นภาคผนวก รูปภาพแสดงตัวบ่งชี้ Tissotสำหรับการฉายนี้ บนเส้นศูนย์สูตร h=k=1 และองค์ประกอบวงกลมจะไม่บิดเบี้ยวในการฉายภาพ ที่ละติจูดที่สูงขึ้น วงกลมจะถูกบิดเบี้ยวเป็นวงรีที่กำหนดโดยการยืดในทิศทางขนานเท่านั้น: ไม่มีการบิดเบือนในทิศทางเมริเดียน อัตราส่วนของแกนหลักต่อแกนรองคือวินาทีφ{\displaystyle \sec \varphi } การพิจารณาการใช้เครื่องชั่งน้ำหนักแบบแท่งที่อาจปรากฏบนฉบับพิมพ์ของการฉายภาพนี้เป็นคำแนะนำที่ดี มาตราส่วนเป็นจริง (k=1) บนเส้นศูนย์สูตร ดังนั้นการคูณความยาวบนแผนที่ที่พิมพ์โดยผกผันของ RF (หรือมาตราส่วนหลัก) ให้เส้นรอบวงจริงของโลก มาตราส่วนแท่งบนแผนที่ยังวาดด้วยมาตราส่วนจริงด้วย ดังนั้นการถ่ายโอนการแยกระหว่างจุดสองจุดบนเส้นศูนย์สูตรไปยังมาตราส่วนแท่งจะให้ระยะห่างที่ถูกต้องระหว่างจุดเหล่านั้น เช่นเดียวกับเส้นเมอริเดียน บนเส้นขนานที่นอกเหนือจากเส้นศูนย์สูตร มาตราส่วนคือวินาทีφ{\displaystyle \sec \varphi } การฉายภาพ Mercator ด้วยตัว บ่งชี้การเสียรูปของTissot (การบิดเบือนจะเพิ่มขึ้นโดยไม่มีการจำกัดที่ละติจูดที่สูงขึ้น) การฉายภาพ Mercator จะจับคู่ทรงกลมกับรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า (มีขอบเขตอนันต์ในy{\displaystyle y} ที่ไหน, λ{\displaystyle \lambda \,} ในภาคผนวกทางคณิตศาสตร์แสดงให้เห็นว่ามาตราส่วนจุดในทิศทางใดก็ได้ก็เท่ากับวินาทีφ{\displaystyle \sec \varphi } การฉายภาพพื้นที่เท่ากันของแลมเบิร์ตการฉายภาพพื้นที่เท่ากันของทรงกระบอกปกติของแลมเบิร์ตพร้อมตัว บ่งชี้การเสียรูปของ Tissot การฉายภาพพื้นที่เท่ากันของแลมเบิร์ตจะจับคู่ทรงกลมกับสี่เหลี่ยมที่มีขอบเขตจำกัดโดยสมการ[1] [2] [4] x=λy=บาปφ{\displaystyle x=a\lambda \qquad \qquad y=a\sin \varphi }ที่ไหน, λ{\ displaystyle \ lambda} การคำนวณขนาดของจุดในทิศทางโดยพลการจะได้รับด้านล่าง สเกลแนวตั้งและแนวนอนในตอนนี้จะชดเชยซึ่งกันและกัน (hk=1) และในไดอะแกรม Tissot องค์ประกอบวงกลมเล็กๆ แต่ละองค์ประกอบจะบิดเบี้ยวเป็นวงรีของพื้นที่เดียวกันกับวงกลมที่ไม่บิดเบี้ยวบนเส้นศูนย์สูตร กราฟของตัวประกอบมาตราส่วนกราฟแสดงการเปลี่ยนแปลงของตัวประกอบมาตราส่วนสำหรับสามตัวอย่างข้างต้น พล็อตบนสุดแสดงฟังก์ชันมาตราส่วน Mercator แบบไอโซโทรปิก: มาตราส่วนบนเส้นขนานจะเหมือนกับมาตราส่วนบนเส้นเมอริเดียน แปลงอื่นๆ แสดงตัวคูณมาตราส่วนเมริเดียนสำหรับการฉายภาพเส้นตรง (h=1) และสำหรับการฉายภาพพื้นที่เท่ากันของแลมเบิร์ต การคาดคะเนสองภาพสุดท้ายนี้มีมาตราส่วนคู่ขนานเหมือนกับพล็อต Mercator สำหรับ Lambert โปรดทราบว่ามาตราส่วนคู่ขนาน (ในขณะที่ Mercator A) เพิ่มขึ้นตามละติจูดและมาตราส่วนเมริเดียน (C) ลดลงตามละติจูดในลักษณะที่ hk=1 ซึ่งรับประกันการอนุรักษ์พื้นที่ มาตราส่วนจุด Mercator เป็นเอกภาพบนเส้นศูนย์สูตรเพราะเป็นทรงกระบอกเสริมที่ใช้ในการก่อสร้างนั้นสัมผัสกับโลกที่เส้นศูนย์สูตร ด้วยเหตุนี้การฉายภาพปกติจึงควรเรียกว่าการฉายภาพแทนเจนต์ มาตราส่วนแตกต่างกันไปตามละติจูดเป็นk=วินาทีφ{\displaystyle k=\sec \varphi } เกณฑ์มาตรฐานสำหรับแผนที่ขนาดใหญ่ที่ดีคือความแม่นยำควรอยู่ภายใน 4 ส่วนใน 10,000 หรือ 0.04% ซึ่งสอดคล้องกับ k=1.0004{\displaystyle k=1.0004} ความแปรผันของมาตราส่วนใกล้เส้นศูนย์สูตรสำหรับเส้นโครงแทนเจนต์ (สีแดง) และซีแคนต์ (สีเขียว) Mercator ซีแคนต์หรือแก้ไข ประมาณการแนวคิดพื้นฐานของการฉายภาพซีแคนต์คือ ทรงกลมถูกฉายไปยังทรงกระบอกที่ตัดกับทรงกลมสองแนวขนานกัน กล่าวคือ φ1{\ displaystyle \ varphi _ {1}} ตัวอย่างเช่น การฉายภาพซีแคนต์ Mercator ที่เป็นไปได้หนึ่งรายการถูกกำหนดโดย x=0.9996λy=0.9996ln(ตาล(พาย4+φ2)).{\displaystyle x=0.9996a\lambda \qquad \qquad y=0.9996a\ln \left(\tan \left({\frac {\pi }{4}}+{\frac {\varphi }{2}} \right)\right).}ตัวคูณตัวเลขไม่ได้เปลี่ยนรูปร่างของการฉายภาพ แต่หมายความว่าตัวประกอบมาตราส่วนถูกแก้ไข: มาตราส่วน Mercator secant, k=0.9996วินาทีφ.{\displaystyle \quad k\;=0.9996\sec \varphi .}ดังนั้น
นี่คือภาพประกอบโดยเส้นโค้งล่าง (สีเขียว) ในรูปของส่วนก่อนหน้า โซนแคบที่มีความแม่นยำสูงดังกล่าวถูกนำมาใช้ในการฉาย UTM และ British OSGB ซึ่งทั้งสองส่วนเป็นซีแคนต์ ขวาง Mercator บนทรงรีที่มีมาตราส่วนบนค่าคงที่เมริเดียนกลางที่ k0=0.9996{\displaystyle k_{0}=0.9996} เส้นของมาตราส่วนหน่วยที่ละติจูด φ1{\ displaystyle \ varphi _ {1}} ในขณะที่วงแคบกับ |k-1|<0.0004{\displaystyle |k-1|<0.0004}
ความแปรผันของมาตราส่วนสำหรับระยะเท่ากันของ Lambert (สีเขียว) และ Gall (สีแดง) ตารางมาตราส่วนสำหรับส่วนหลังแสดงไว้ด้านล่างเมื่อเปรียบเทียบกับปัจจัยมาตราส่วนพื้นที่ที่เท่ากันของ Lambert ในระยะหลังเส้นศูนย์สูตรเป็นเส้นขนานมาตรฐานเดียวและมาตราส่วนขนานเพิ่มขึ้นจาก k=1 เพื่อชดเชยการลดลงของมาตราส่วนเมริเดียน สำหรับน้ำดีมาตราส่วนขนานจะลดลงที่เส้นศูนย์สูตร (เป็น k=0.707) ในขณะที่มาตราส่วนเส้นเมอริเดียนเพิ่มขึ้น (เป็น k=1.414) สิ่งนี้ทำให้เกิดการบิดเบี้ยวของรูปร่างโดยรวมในการฉายภาพ Gall-Peters (ในโลกของทวีปแอฟริกานั้นกว้างใหญ่ไพศาล) โปรดทราบว่าเส้นเมอริเดียนและมาตราส่วนขนานเป็นเอกภาพบนเส้นขนานมาตรฐาน ภาคผนวกทางคณิตศาสตร์องค์ประกอบเล็ก ๆ บนทรงกลมและการฉายภาพทรงกระบอกปกติ สำหรับการฉายภาพทรงกระบอกปกติ เรขาคณิตขององค์ประกอบที่เล็กที่สุดจะให้ (ก)ตาลα=cosφδλδφ,{\displaystyle {\text{(a)}}\quad \tan \alpha ={\frac {a\cos \varphi \,\delta \lambda }{a\,\delta \varphi }},}ความสัมพันธ์ระหว่างมุม β{\displaystyle \beta } สำหรับการฉายภาพ Mercator y′(φ)=วินาทีφ{\displaystyle y'(\varphi )=a\sec \varphi } การตั้งค่า δx=δλ{\displaystyle \delta x=a\,\delta \lambda } สำหรับการคาดการณ์อื่นที่ไม่ใช่ Mercator เราต้องคำนวณก่อน β{\displaystyle \beta } หากเราพิจารณาเส้นความชันคงที่ β{\displaystyle \beta } แม้ว่าเครื่องหมายทวิภาคมักใช้เพื่อแสดงอัตราส่วน แต่Unicodeสามารถแสดงสัญลักษณ์เฉพาะของอัตราส่วน โดยจะเพิ่มขึ้นเล็กน้อย: U+ 2236 ∶ RATIO (HTML แผนที่ที่มีมาตราส่วน 1 : 50,000 เป็นแผนที่มาตราส่วนใด2.จำแนกตามขนาดหรือมาตราส่วน ในกิจการทหารแบ่งเป็น 3 ชนิดคือ 1.แผนที่มาตราส่วนขนาดใหญ่ คือแผนที่ที่ใช้มาตราส่วนใหญ่กว่า 1:75,000 สำหรับแสดงข้อมูลพื้นที่ขนาดเล็กเช่น หมู่บ้าน ตำบล เขตเทศบาลมาตราส่วนที่นิยมใช้คือ 1:50,000.
มาตราส่วนในแผนที่ที่แสดงเป็นตัวเลข 1: 500,000 จัดเป็นมาตราส่วนชนิดใด3. มาตราส่วนแบบเศษส่วน representative fraction คือมาตราส่วนที่แสดงด้วยตัวเลขอัตราส่วน เช่น เช่น เศษ 1 ส่วน 50,000 หรือ 1: 50,000 หรือหมายความว่าระยะทาง 1 หน่วยเท่ากับระยะทาง 50,000 หน่วยบนพื้นโลก
แผนที่มาตราส่วน 1 : 150,000 หมายความว่าอย่างไรมาตราส่วน 1 : 150,000 บนแผนที่ หมายความว่าอย่างไร ระยะ 1 ม. บนแผนที่ เท่ากับ 150,000 กม. บนพื้นผิวโลก ระยะ 1 ซม. บนแผนที่ เท่ากับ 50,000 ส่วน บนพื้นผิวโลก ระยะ 1 ส่วน บนแผนที่ เท่ากับ 150,000 ส่วน บนพื้นผิวโลก
ในภาพถ่ายทางอากาศ 1 แผ่น มาตราส่วน 1: 50,000 มีพื้นที่กี่ตารางกิโลเมตร1.1 หากใช้แผนที่บนกระดาษกว้างยาวด้านละ 50 เซนติเมตร แสดงข้อมูลแผนที่มาตราส่วน 1:50,000 หมายความว่า เราสามารถแสดงปรากฏการณ์บนพื้นโลกได้กว้างยาวด้านละ 50 เซนติเมตร X 50,000 = 2,500,000 เซนติเมตร = 25 กิโลเมตร หรือ แสดงปรากฏการณ์บนพื้นโลกได้ครอบคลุมพื้นที่ 625 ตารางกิโลเมตร
|