โยนวัตถุจากพื้นด้วยความเร็วต้น 20 เมตร/วินาที จงหาความเร็วเมื่อเวลาผ่านไป 1 และ 5 วินาที ตามลําดับ

We’ve updated our privacy policy so that we are compliant with changing global privacy regulations and to provide you with insight into the limited ways in which we use your data.

You can read the details below. By accepting, you agree to the updated privacy policy.

Thank you!

View updated privacy policy

We've encountered a problem, please try again.

En-21 เด็กคนหนึ่งโยนลูกบอลลูกแรกขึ้นไปในแนวดิ่งด้วยความเร็วต้น \(v\) เมื่อลูกบอลขึ้นไปถึงจุดสูงสุดของมัน เขาก็โยนลูกบอลลูกที่สองตามชึ้นไปด้วยความเร็วต้นเท่ากัน จงหาว่าลูกบอลทั้งสองจะชนกัน ณ ความสูงเท่าไรจากจุดโยน กำหนดให้อัตราเร่งเนื่องจากความโน้มถ่วงเป็น \(g\)

เฉลย 1. ระยะสูงสุดหาจากลูกบอลลูกแรกขึ้นไปถึงจุดสูงสุด \begin{aligned} v^2&=u^2+2as\\ 0&=u^2+2(-g)s\\ s&=\dfrac{u^2}{2g} \end{aligned}
2. ระยะทางลูกแรกตกลงมาใช้เวลา \(t\) วินาที \begin{aligned} s_1&=ut+\dfrac{1}{2}at^2\\ s_1&=0+\dfrac{1}{2}(g)t^2\\ s_1&=\dfrac{1}{2}gt^2 \end{aligned}
3. โยนลูกที่สองตามชึ้นไปด้วยความเร็วต้นเท่ากัน ไปชนกับลูกแรกที่ตกลงมาพอดีใช้เวลา \(t\) วินาทีเท่ากัน \begin{aligned} s_2&=ut+\dfrac{1}{2}at^2\\ s_2&=ut+\dfrac{1}{2}(-g)t^2\\ s_2&=ut-\dfrac{1}{2}gt^2 \end{aligned}
4. ระยะทางลูกแรกรวมกับลูกที่สองจะเท่ากับระยะทางที่ลูกแรกขึ้นได้สูงสุด \begin{aligned} s_1+s_2&=s\\ \dfrac{1}{2}gt^2+ut-\dfrac{1}{2}gt^2&=\dfrac{u^2}{2g}\\ ut&=\dfrac{u^2}{2g}\\ t&=\dfrac{u}{2g} \end{aligned} แทนเวลาในสมการลูกที่สองเคลื่อนที่ขึ้นได้ระยะทาง \begin{aligned} s_2&=ut-\dfrac{1}{2}gt^2\\ s_2&=u(\dfrac{u}{2g})-\dfrac{1}{2}g(\dfrac{u}{2g})^2\\ s_2&=\dfrac{u^2}{2g}-\dfrac{u^2}{8g}\\ s_2&=\dfrac{3u^2}{8g} \end{aligned} โจทย์กำหนดให้ความเร็วต้นเท่ากับ \(v\)
ดังนั้น ลูกที่สองจะชนกัน ณ ความสูง \(\dfrac{3v^2}{8g}\) เมตรจากจุดโยน

En-22 กราฟนี้เป็นกราฟความเร็วและเวลาของวัตถุที่ถูกโยนขึ้นไปตรง ๆ ในแนวดิ่งแล้วตกลงบนพื้นดิน วัตถุจะขึ้นถึงตำแหน่งสูงสุดเป็นระยะเท่าใด

    ก. \(11.25\) เมตร
    ข. \(10.0\) เมตร
    ค. \(4.12\) เมตร
    ง. \(1.5\) เมตร

เฉลย ที่ตำแหน่งสูงสุดความเร็วปลายเท่ากับศูนย์ \((v=0)\) ระยะทางจะเท่ากับ พ.ท.ใต้กราฟ \(v-t\) ในช่วงเวลา \(0-1.5\) วินาที \begin{aligned} s&=\dfrac{1}{2}\times 1.5 \times 15 \\ s&=\dfrac{22.5}{2}\\ s&=11.25 \end{aligned} ดังนั้น วัตถุจะขึ้นถึงตำแหน่งสูงสุดเป็นระยะเท่า \(11.25\) เมตร ตอบข้อ ก.

En-24 วัตถุอันหนึ่งเคลื่อนที่โดยมีความเร็วเปลี่ยนแปลงกับเวลาเป็นแบบ sine curve (ดังรูป) ซึ่งมีค่าแอมพลิจูดเป็น 0.3 เมตร/วินาที จงหาระยะทางที่วัตถุเคลื่อนที่ไปได้ระหว่างจุด \(A\) กับ \(B\)

เฉลย พื้นที่สันคลื่นเท่ากับพื้นที่ท้องคลื่น ทำให้เกิดรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าพอดี จะได้ระยะทางเท่ากับ พ.ท.ใต้กราฟ \(v-t\) ในช่วงเวลา \(1-4\) วินาที \begin{aligned} s&=(4-1)\times 1 \\ s&=3\times 1\\ s&=3 \end{aligned} ดังนั้น ระยะทางที่วัตถุเคลื่อนที่ไปได้ระหว่างจุด \(A\) กับ \(B\) เท่ากับ \(3\) เมตร

En-25 จากการทดลองการเคลื่อนที่ของวัตถุ พบว่าความเร่งของวัตถุมีค่าแปรไปตามเวลาดังลักษณะที่แสดงไว้ในรูปกราฟ ถ้าหากวัตถุนี้เริ่มต้นเคลื่อนที่ด้วยอัตราเร็วเท่ากับศูนย์ ไปทางขวามือแสดงว่าตลอดระยะเวลา 20 วินาที การขจัดของวัตถุนี้มีค่าเท่าใด (ค่าบวกในกราฟสำหรับทิศไปทางขวามือ)

    ก. \(100\) เมตรไปทางขวามือ
    ข. \(125\) เมตรไปทางซ้ายมือ
    ค. \(75\) เมตรไปทางขวามือ
    ง. \(75\) เมตรไปทางซ้ายมือ
    จ. \(125\) เมตรไปทางขวามือ

เฉลย 1. ช่วงเวลา \(0-5\) วินาที ความเร่งเท่ากับ \(2 \ m/s^2\) หาระยะทางได้ \begin{aligned} s&=ut+\dfrac{1}{2}at^2\\ s&=0+\dfrac{1}{2}(2)(5)^2\\ s&=25 \end{aligned} 2. ช่วงเวลา \(5-10\) วินาที ความเร่งเท่ากับ \(0 \ m/s^2\) แสดงว่าความเร็วคงที่ตลอดช่วงเวลา \(5-10\) วินาที มีค่าเท่ากับความเร็วเมื่อสิ้นเวลา \(5\) วินาที \begin{aligned} v&=u+at\\ v&=0+2\times 5\\ v&=10 \end{aligned} จะได้ระยะทางช่วงความเร็วคงที่ช่วงเวลา \(5-10\) วินาที เท่ากับ \begin{aligned} s&=vt\\ s&=10\times 5\\ s&=50 \end{aligned} 3. ช่วงเวลา \(15-20\) วินาที ความเร่งเท่ากับ \(-2 \ m/s^2\) หาระยะทางได้ \begin{aligned} s&=ut+\dfrac{1}{2}at^2\\ s&=(10)(5)+\dfrac{1}{2}(-2)(5)^2\\ s&=50-25\\ s&=25 \end{aligned} ดังนั้น การขจัดของวัตถุมีค่า \(25+50+25=100 \) เมตร ไปทางขวามือ
ตอบข้อ ก.

En-26 ในการปรับให้น้ำหยดจากปลายหลอดบิวเร็ตต์ชนิดที่เมื่อหยดหนึ่งถึงพื้น อีกหยดหนึ่งถัดไปก็หยดออกทันที เมื่อปลายบิวเล็ตต์สูง \((h)\ 50\) เซนติเมตร หยดน้ำควรหยดกี่หยดต่อ \(10\) วินาที \((g=10\ m/s^2)\)

ก. \(6\) ข. \(20\) ค. \(31\) ง. \(49\)

เฉลย หาเวลาหนึ่งหยดถึงพื้น \begin{aligned} s&=ut+\dfrac{1}{2}at^2\\ 0.5&=0+\dfrac{1}{2}(10)t^2\\ t^2&=\dfrac{1}{10}\\ t&=\sqrt{\dfrac{1}{10}} \end{aligned} ในเวลา \(10\) วินาที จะมีน้ำหยดได้ \begin{aligned} n&=\dfrac{10}{t}\\ n&=10\sqrt{10} \\ n&=10\times 3.16\\ n&=31.6 \end{aligned} ดังนั้น จะมีน้ำ \(31\) หยดต่อ \(10\) วินาที
ตอบข้อ ค.

En-28 ปล่อยลูกบอลลูนที่มีถุงทรายสองถุงผูกติดกันอยู่ ลอยขึ้นจากพื้นดินในแนวดิ่ง ปรากฏว่าเมื่อเวลาผ่านไป \(8\) วินาที ถุงทรายใบหนึ่งหลุดตกสู่พื้นดิน ถ้าบอลลูนลอยสูงขึ้นด้วยอัตราเปลี่ยนแปลงดังกราฟ (กำหนดค่า \(g=10\ \text{เมตร/วินาที}^2)\)

ถามว่า ขณะถุงทรายตกถึงพื้นดิน บอลลูนกำลังลอยขึ้นด้วยอัตราเร็วกี่เมตรต่อวินาที
ก. \(20\) ข. \(25\) ค. \(30\) ง. \(35\)

เฉลย 1. บอลลลูนอยู่สูงจากพื้นดินเท่ากับพื้นที่ใต้กราฟ ในช่วง \(8\) วินาทีแรกก่อนถุงทรายหลุด \begin{aligned} s&=\dfrac{1}{2}\times (8)(10)\\ s&=40 \ \text{เมตร} \end{aligned} 2. จากกราฟถุงทรายหลุดจากบอลลูนเมื่อเวลาผ่านไป \(8\) วินาที จะเคลื่อนที่ขึ้นด้้วยความเร็วต้นเท่ากับ \(10\) เมตร/วินาที แล้วจึงตกลงมาสู่พื้นดินที่การกระจัด \(-40\) เมตร/วินาที หาเวลาถุงทรายหลุดจากบอลลูนตกถึงพื้นดิน \begin{aligned} s&=ut+\dfrac{1}{2}at^2\\ -40&=10t+\dfrac{1}{2}(-10)t^2\\ -40&=10t-5t^2\\ -8&=2t-t^s\\ t^2-2t-8&=0\\ (t-4)(t+2)&=0\\ t&=4,\ -2\\ t&=4 \end{aligned} 3. ขณะถุงทรายตกถึงพื้นดิน บอลลูนใช้เวลาลอยอยู่ในอากาศ \(8+4=12\) วินาที
ดังนั้น อ่านค่าอัตราเร็วของบอลลูนจากกราฟได้เท่ากับ \(20\) วินาที ตอบข้อ ก.

En-29 ยิงกระสุนดิ่งขึ้นฟ้า \(3\) ลูกติดต่อกัน จากตำแหน่งเดียวกัน ด้วยอัตราเร็วต้น \(10\) เมตร/วินาที เท่ากัน และเว้นช่วงเวลาระหว่างลูกที่ถัดกัน \(1\) วินาที อยากทราบว่ากระสุนลูกที่ \(2\) และ \(3\) จะสวนกันที่ระยะสูงสุดจากฐานยิงกี่เมตร
ก. \(1.25\) เมตร ข. \(3.75\) เมตร ค. \(5.00\) เมตร ง. \(6.50\) เมตร

เฉลย พิจารณาเฉพาะกระสุนลูกที่ \(2 \ \text{และ}\ 3\) ให้ \(t\) เป็นเวลากระสุนลูกที่ \(3\) ถูกยิงขึ้นไป ดังนั้นกระสุนลูกที่ \(2\) ใช้เวลาตกลงมาสวนกันพอดีที่เวลา \((t+1)\ \text{วินาที}\) การกระจัดกระสุนลูกที่ \(2\) เท่ากับกระสุนลูกที่ \(3\) เป็นบวกทั้งคู่เนื่องจากถูกยิงขึ้นที่ตำแหน่งเดียวกัน \begin{aligned} h_2&=ut_2+\dfrac{1}{2}at_2^2\\ h_2&=10(t+1)+\dfrac{1}{2}(-10)(t+1)^2\\ h_2&=10t+10-5(t^2+2t+1)\\ h_2&=10t+10-5t^2-10t-5\\ h_2&=5-5t^2\\ h_3&=ut_3+\dfrac{1}{2}at_3^2\\ h_3&=10t+\dfrac{1}{2}(-10)t^2\\ h_3&=10t-5t^2\\ h_2&=h_3 \\ 5-5t^2&=10t-5t^2\\ t&=\dfrac{5}{10}\\ t&=0.5 \ \text{วินาที} \end{aligned} เลือกแทนใน \(h_3\) ได้ \begin{aligned} h_3&=ut_3+\dfrac{1}{2}at_3^2\\ h_3&=(10)(0.5)+\dfrac{1}{2}(-10)(0.25)\\ h_3&=5-1.25\\ h_3&=3.75 \ \text{เมตร} \end{aligned} ดังนั้น กระสุนลูกที่ \(2 \ \text{และ}\ 3\) จะสวนกันที่ระยะสูงสุดจากฐานยิง \(3.75\) เมตร
ตอบข้อ ข.

En-30

จากกราฟความเร็ว-เวลา ซึ่งแสดงการเดินทางในช่วง \(A,\ B,\ C\) และ \(D\) จงหาระยะทางที่เคลื่อนที่ไปได้ใน \(0.5\) ชั่วโมง
1. \(18.5\) กิโลเมตร 2. \(19.5\) กิโลเมตร 3. \(20.0\) กิโลเมตร 4. \(40.0\) กิโลเมตร

คำถามต่อเนื่อง กราฟความเร็ว-เวลา จงหาอัตราเร็วเฉลี่ยใน \(0.2\) ชั่วโมงแรก

เฉลย ระยะทางเท่ากับพื้นที่ใต้กราฟความเร็ว-เวลา ในช่วง \(0-0.5\) ชั่วโมง \begin{aligned} s_A&=\dfrac{1}{2}(0.1)(50)\\ s_A&=2.5\\ s_B&=(0.3-0.1)(50)\\ s_B&=10\\ s_C&=\dfrac{1}{2}(10+50)(0.5-0.3)\\ s_C&=6\\ s&=s_A+s_B+s_C\\ s&=2.5+10+6\\ s&=18.5 \end{aligned} ดังนั้น ระยะทางที่เคลื่อนที่ไปได้ใน \(0.5\) ชั่วโมง เท่ากับ \(18.5\) ชั่วโมง ตอบข้อ 1.

เฉลยคำถามต่อเนื่อง อัตราเร็วเฉลี่ยเท่ากับอัตราการเปลี่ยนแปลงระยะทางในหนึ่งหน่วยเวลา \(0.2\) ชั่วโมง \begin{aligned} s&=\dfrac{1}{2}(0.2+0.1)(50)\\ s&=(0.3)(25)\\ s&=7.5\\ v_{av}&=\dfrac{s}{t}\\ v_{av}&=\dfrac{7.5}{0.2}\\ v_{av}&=37.5 \end{aligned} ดังนั้น อัตราเร็วเฉลี่ยใน \(0.2\) ชั่วโมงแรก เท่ากับ \(37.5\) กิโลเมตร/ชั่วโมง

En-31 วัตถุอันหนึ่งเคลื่อนที่จากนิ่งด้วยความเร่ง \(a\) ที่เวลา \(t\) ดังแสดงได้ดังรูป จงหาความเร็วของวัตถุที่เวลา \(5\) วินาที

1. \(2\) 2. \(1\) 3. \(0\) 4. \(-1\)

เฉลย ความเร็วปลายช่วงแรก \(0-2\) วินาที \begin{aligned} v&=u+at\\ v&=0+(2)(2)\\ v&=4 \ \text{เมตร/วินาที} \end{aligned} และเป็นความเร็วต้นช่วงเวลา \(2-5\) วินาที หาความเร็วปลายได้ \begin{aligned} v&=u+at\\ v&=4+(-1)(3)\\ v&=4-3\\ v&=1 \ \text{เมตร/วินาที} \end{aligned} ดังนั้น ความเร็วของวัตถุที่เวลา \(5\) วินาที เท่ากับ \(1\) เมตร/วินาที ตอบข้อ \(2.\)

ใช้กราฟ ความเร็วเมื่อสิ้นวินาทีที่ \(n\) เท่ากับพื้นที่ใต้กราฟ \(a-t\)

\begin{aligned} A_1&=(2)(2)\\ A_1&=4\\ A_2&=(-1)(3)\\ A_2&=-3 \end{aligned} \(1.\) วัตถุเคลื่อนที่จากนิ่ง คู่ลำดับ \((v,t)\) เริ่มต้น เท่ากับ \((0,0)\)
\(2.\) สิ้นวินาทีที่ \(2\) วัตถุเคลื่อนที่ด้วยความเร็วเท่ากับ \(v=A_1+0=4\) เมตร/วินาที \((4,2)\)
\(3.\) สิ้นวินาทีที่ \(5\) วัตถุเคลื่อนที่ด้วยความเร็วเท่ากับ \(v=A_1+A_2=4-3=1\) เมตร/วินาที \((1,5)\)
ดังนั้น ความเร็วของวัตถุที่เวลา \(5\) วินาที เท่ากับ \(1\) เมตร/วินาที

En-32 รถไฟ \(2\) ขบวน วิ่งเข้าหากันโดยวิ่งในรางเดียวกัน รถขบวนที่ \(1\) วิ่งด้วความเร็ว \(10\) เมตร/วินาที ส่วนขบวนที่ \(2\) วิ่งด้วความเร็ว \(20\) เมตร/วินาที ขณะที่อยู่ห่างกัน \(325\) เมตร/วินาที รถไฟทั้ง \(2\) ขบวนต่างเบรครถ และหยุดได้พอดีกันโดยอยู่ห่างกัน \(25\) เมตร/วินาที เวลาที่รถทั้งสองใช้เป็นเท่าใด
1. \(10\) เมตร/วินาที 2. \(15\) เมตร/วินาที 3. \(20\) เมตร/วินาที 4. \(25\) เมตร/วินาที

เฉลย รถสองขบวนใช้เวลาหยุดเท่ากัน
1. รถคันแรกเบรคได้ระยะทาง \begin{aligned} s_1&=\dfrac{u+v}{2}t\\ s_1&=\dfrac{0+10}{2}t\\ s_1&=5t \end{aligned} 2. รถคันที่สองเบรคได้ระยะทาง \begin{aligned} s_2&=\dfrac{u+v}{2}t\\ s_2&=\dfrac{0+20}{2}t\\ s_2&=10t \end{aligned} 3. ผลรวมของระยะเบรกทั้งหมดกับระยะห่างเท่ากับระยะห่างระหว่างรถไฟสองขบวนตอนเริ่มต้นเคลื่อนที่ \begin{aligned} s_1+s_2+25&=325\\ 5t+10t&=300\\ t&=\dfrac{300}{15}\\ t&=20\\ \end{aligned} ดังนั้น เวลาที่รถทั้งสองใช้เป็น \(20\) วินาที ตอบข้อ 3.

โยนวัตถุขึ้นจากพื้นด้วยความเร็วต้น30เมตร/วินาที วัตถุจะขึ้นไปถึงจุดสูงสุดภายในเวลากี่วินาที ขว้างก้อนหินขึ้นไปในแนวดิ่งด้วยความเร็ว 40 m/s