โครงงานเรื่อง สามเหลี่ยม เตือนภัย

โครงงานคณติ ศาสตร์ เรื่อง มหัศจรรยส์ เ่ี หลี่ยมมมุ ฉากแนบในสามเหลีย่ มมุมฉาก จัดทาโดย นายอานนท์ศกั ด์ิ ผิวอว้ น เลขที่ 6 นางสาวปฏญิ ญาธร เจริญธรรม เลขท่ี 25 นางสาวมนพัทธ์ แก้วผดุง เลขที่ 31 ชนั้ มธั ยมศกึ ษาปที ่ี 6/1 รายงานโครงงานนี้เป็นส่วนหน่งึ ของรายวชิ า คณติ ศาสตรเ์ พ่มิ พนู ประสบการณ์ 5 (ค 33203) โรงเรยี นแกง่ คอย อาเภอแก่งคอย จงั หวดั สระบรุ ี ภาคเรยี นที่ 1 ปีการศึกษา 2563 โครงงานคณิตศาสตร์ เรื่อง มหศั จรรยส์ ีเ่ หลี่ยมมุมฉากแนบในสามเหลีย่ มมุมฉาก จัดทาโดย นายอานนท์ศกั ดิ์ ผิวอว้ น เลขที่ 6 นางสาวปฏญิ ญาธร เจรญิ ธรรม เลขที่ 25 นางสาวมนพัทธ์ แก้วผดงุ เลขท่ี 31 ชัน้ มัธยมศกึ ษาปที ่ี 6/1 ครทู ีป่ รกึ ษา คุณครูวทิ ยา นิลสกุล รายงานโครงงานน้เี ป็นส่วนหนึ่งของรายวิชา คณิตศาสตร์เพ่มิ พูนประสบการณ์ 5 (ค 33203) โรงเรยี นแกง่ คอย อาเภอแก่งคอย จังหวดั สระบุรี ภาคเรยี นท่ี 1 ปกี ารศกึ ษา 2563 ก ช่ือโครงงาน มหัศจรรย์ส่ีเหล่ยี มมุมฉากแนบในสามเหลยี่ มมมุ ฉาก ระดับชัน้ มธั ยมศึกษาตอนปลาย คณะผจู้ ัดทา 1.นายอานนทศ์ ักด์ิ ผวิ อ้วน เลขที่ 6 2.น.ส.ปฏิญญาธร เจรญิ ธรรม เลขที่ 25 ระดับช้นั 3.น.ส.มนพทั ธ์ แกว้ ผดุง เลขที่ 31 ครทู ป่ี รกึ ษา มธั ยมศกึ ษาปีท่ี 6/1 สถานทีศ่ กึ ษา นายวิทยา นิลสกลุ โรงเรยี นแกง่ คอย อาเภอแก่งคอย จงั หวัดสระบรุ ี ปีการศกึ ษา สานกั งานเขตพื้นที่การศึกษามธั ยมศกึ ษาเขต4 2563 บทคดั ยอ่ โครงงานคณิตศาสตร์เรื่อง มหัศจรรย์สี่เหลี่ยมมุมฉากแนบในสามเหลี่ยมมุมฉาก มีวัตถุประสงค์เพื่อ 1)หาความสัมพันธ์ด้านของรูปสี่เหลี่ยมมุมฉากที่มีพื้นที่มากที่สุด ที่แนบในสามเหลี่ยมมุมฉาก และ 2)เพื่อหา สูตรพื้นที่ของสี่เหลี่ยมมุมฉากที่มีพื้นที่มากที่สุดที่แนบในสามเหลี่ยมมุมฉาก ในการจัดทาโครงงานในครั้งนี้ คณะผู้จดั ทาศึกษาเนื้อหาวชิ าคณติ ศาสตร์ในเร่อื งสามเหลย่ี มคล้าย การหาพน้ื ทรี่ ูปสี่เหลี่ยมและการหาค่าสูงสุด ต่าสดุ ของฟังก์ชันโดยใช้อนุพันธ์ ระยะเวลาในการดาเนินการระหว่างวันที่ 23 กันยายน 2563 ถึง 26 ตุลาคม เปน็ เวลา 1 เดอื น 4 วนั ผลการศึกษาพบวา่ 1)รูปสเี่ หล่ยี มมุมฉากที่แนบในรูปสามเหลี่ยมมุมฉากที่มีด้านประกอบมุมฉากยาว a และ b หน่วย จะมีพื้นที่มากที่สุด เมื่อความยาวและความกว้างของรูปสี่เหลี่ยมเท่ากับ a และ b หน่วย 22 ตามลาดับและ 2)พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมมุมฉากที่แนบในรูปสามเหลี่ยมมุมฉากที่มีด้านประกอบมุมฉากยาว a และ b หนว่ ย จะมีพน้ื ที่มากท่สี ุกเทา่ กบั ab ตารางหนว่ ย 4 ข กิตติกรรมประกาศ จากโครงงานคณิตศาสตร์เรื่องนี้ประกอบด้วยการดาเนินงานหลายขั้นตอน ตั้งแต่การกาหนดหัวข้อ โครงงาน การศกึ ษาเอกสารและข้อมูล การทดลองหาความสัมพันธ์ การพิสูจน์หาความสัมพันธ์โดยใช้ทฤษฎีทาง คณิตศาสตร์ การปรับปรุงแก้ไข และตลอดจนการจัดทารูปเล่ม จนกระทั่งโครงงานนี้สาเร็จลุล่วงไปได้ด้วยความ สมบูรณ์ ตลอดระยะเวลาดังกล่าว คณะผู้จัดทาตระหนักและซาบซึ้งในความกรุณาเป็นอย่างยิ่งขอขอบคุณครูท่ี ปรกึ ษา ณ โอกาสนี้ ขอขอบพระคุณ ครูวิทยา นิลสกุล ครูที่ปรึกษาโครงงาน ผู้ให้ความรู้ คาแนะนาและเมตตาให้ความ ช่วยเหลือในทุกๆ ด้านจากคุณความดีงามอันพึงมีต่อโครงงานเล่มนี้ คณะผู้จัดทาขอมอบคุณความดีนี้ให้ผู้มี พระคณุ ท่ีให้การสนับสนนุ สง่ เสริมผ้จู ัดทาโครงงานด้วยดเี สมอมา คณะผู้จดั ทา สารบัญ ค บทคัดย่อ หน้า กิตติกรรมประกาศ ก สารบัญ ข สารบัญตาราง ค ง สารบัญภาพ จ 1 บทที่ 1 บทนา 1 ทีม่ าและความสาคัญ 2 วตั ถุประสงค์ 2 ขอบเขตของโครงงาน 2 ประโยชนท์ ่ีคาดว่าจะได้รับ 3 3 บทที่ 2 เอกสารทเ่ี กี่ยวขอ้ ง 4 สามเหล่ียมคล้าย 5 การหาพนื้ ท่ีของรปู ส่ีเหล่ียมมมุ ฉาก 10 อนุพนั ธ์ของฟังกช์ นั 10 10 บทท่ี 3 วธิ ีการดาเนินงาน 11 เครื่องมือท่ใี ชใ้ นการศกึ ษา 12 วิธดี าเนินการ 19 วธิ ีการเกบ็ รวบรวมข้อมูล 19 19 บทท่ี 4 ผลการดาเนนิ งาน 20 บทที่ 5 สรุปผล อภิปรายผล และข้อเสนอแนะ 20 21 สรุปผล 22 อภปิ รายผล 23 ประโยชน์ที่คาดว่าจะได้รับ 24 ข้อเสนอแนะ บรรณานุกรม ภาคผนวก รูปการพสิ จู น์ รปู ประกอบกิจกรรมดาเนนิ โครงงาน สารบัญตาราง ง ตารางท่ี หนา้ 11 ตารางที่ 3.1ปฏิทนิ การดาเนนิ งาน 12 ตารางที่ 4.1ความกวา้ ง ความยาว และพื้นที่ของรูปส่เี หลยี่ มมุมฉากที่แนบใน 13 รปู สามเหล่ียมมุมฉากโดยการวาด ตารางที่ 4.2ความกว้าง ความยาว และพนื้ ที่ของรูปสเ่ี หลีย่ มมมุ ฉากทแี่ นบใน รปู สามเหล่ยี มมุมฉากโดยใช้โปรแกรม Geometer’s Sketchpad สารบญั ภาพ จ ชอ่ื ภาพ หน้า 4 ภาพที่ 2.1รปู สามเหลยี่ มคล้าย ABC และ CDE 4 ภาพที่ 2.2รปู สามเหลยี่ มคลา้ ย ABC และ DEF 13 ภาพท่ี 4.1 รปู ส่ีเหล่ียมมุมฉากขนาดต่างๆ แนบในรูปสามเหลีย่ ม 14 ภาพที่ 4.2 รูปสเ่ี หลยี่ มมมุ ฉากแนบในรปู สามเหล่ียมมมุ ฉาก 2 บทท่ี 1 บทนา 1. ท่มี าและความสาคัญของโครงงาน พระราชบัญญัติการศกึ ษาแห่งชาติ พุทธศักราช 2542 ระบุไว้ในแนวการจัดการศึกษาสาระสาคัญ คือ การจัดการศึกษา ต้องเน้นความสาคัญทั้งความรู้คุณธรรม กระบวนการเรียนรู้ และบูรณาการตามความเหมาะสม ของแตล่ ะระดับการศึกษา ให้การศึกษาในด้านความรู้ ทักษะด้านวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี กระบวนการเรียนรู้ เน้นการฝึกทักษะ กระบวนการคิด การจัดการ การเผชิญสถานการณ์ และประยุกต์ความรู้มาใช้เพื่อป้องกันและ แก้ไขปัญหา จัดกิจกรรมให้ผู้เรียนได้เรียนรู้จากประสบการณ์จริง ฝึกปฏิบัติให้ทาได้ คิดเป็นทาเป็น รักการอ่าน และเกิดการใฝ่รู้อย่างต่อเนื่อง ถือหลักว่าผู้เรียนทุกคนมีความสามารถเรียนรู้และพัฒนาตนเองได้ ผู้เรียนมี ความสาคัญที่สุด ซึ่งกระบวนการเรียนการสอนให้คนเกิดการเรียนรู้ เป็นหัวใจของการพัฒนาคุณภาพการศึกษา (กรมวิชาการ, 2542: 2) คณิตศาสตรม์ บี ทบาทสาคัญย่ิงตอ่ การพฒั นาความคิดของมนษุ ย์ ทาให้มนุษย์มีความคิดสร้างสรรค์ คิด อย่างมเี หตผุ ล เป็นระบบระเบียบ มีแบบแผน สามารถวิเคราะห์ปัญหาและสถานการณ์ได้อย่างถี่ถ้วนรอบคอบ ทา ให้สามารถคาดการณ์ วางแผน ตัดสินใจและแก้ปัญหาได้อย่างถูกต้องและเหมาะสม ซึ่งคณิตศาสตร์เป็นเครื่องมือ ในการศึกษาวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี ตลอดจนศาสตร์อื่นๆ ที่เกี่ยวข้อง คณิตศาสตร์จึงมีประโยชน์ต่อการ ดารงชีวิตและช่วยพัฒนาคุณภาพชีวิตให้ดีขึ้น นอกจากนี้คณิตศาสตร์ยังช่วยพัฒนาคนให้เป็นมนุษย์ที่สมบูรณ์มี ความสมดุลทั้งทางร่างกาย จิตใจ สติปัญญาและอารมณ์ สามารถคิดเป็น ทาเป็น แก้ปัญหาเป็น และสามารถอยู่ รว่ มกบั ผ้อู นื่ ได้อยา่ งมคี วามสุข (กระทรวงศึกษาธิการ, 2551) จากการเรียนวิชาคณิตศาสตร์ ในระดับชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 6 ซึ่งเรียนเกี่ยวกับการหาอนุพันธ์ของ ฟังก์ชัน เป็นเรื่องที่มีความเป็นนามธรรมสูง และคณะผู้จัดทาเกิดข้อสงสัยในการคาดการณ์ปัญหาเกี่ยวกับรูป ส่เี หลยี่ มมมุ ฉากแนบในรปู สามเหลีย่ มมุมฉากโดยมเี งื่อนไขอย่วู า่ จะตอ้ งทาให้รูปสี่เหลี่ยมมุมฉากมีพื้นที่มากที่สุด ซึ่ง การสังเกตด้วยตาเปล่าหรอื การวาดรูปแบบลองผิดลองถกู น้นั ไมส่ ามารถสรปุ ได้อย่างแน่ชัดวา่ รูปใดมีพื้นที่มากที่สุด คณะผจู้ ดั ทาจึงไดร้ วบรวมข้อมลู และศกึ ษาเนื้อหาคณิตศาสตร์ที่เกี่ยวข้องเพื่อที่จะใช้พิสูจน์หาความสัมพันธ์ของรูป สี่เหลี่ยมมุมฉากที่มีพื้นที่มากที่สุดที่แนบอยู่ในสามเหลี่ยมมุมฉาก เพื่อเป็นการใช้ความรู้ทางคณิตศาสตร์ในการ แก้ปัญหาดังกล่าว และนอกจากนั้นเพื่อให้ผู้เรียนเห็นคุณค่าและมีเจตคติต่อวิชาคณิตศาสตร์ที่กาลังศึกษาอยู่ใน ระดับช้นั มธั ยมศึกษาปที ี่ 6 3 2. วัตถุประสงคข์ องโครงงาน 1. เพอ่ื หาความสมั พันธ์ด้านของรูปสเ่ี หลย่ี มมมุ ฉากทีม่ ีพื้นท่มี ากสุด ท่แี นบในรปู สามเหลย่ี มมมุ ฉาก 2. เพอื่ หาสูตรพืน้ ทข่ี องรูปสเ่ี หลย่ี มมมุ ฉากที่มีพื้นทีม่ ากสุด ทแี่ นบในรูปสามเหลย่ี มมมุ ฉาก 3. ขอบเขตของโครงงาน 1. ระยะเวลาทใี่ ช้ในการทาโครงงาน วนั ที1่ 4สงิ หาคม - 14 กนั ยายน 2560 รวมระยะเวลา1 เดอื น 2. เน้ือหาทใี่ ชใ้ นการทาโครงงาน 1) สามเหลีย่ มคล้าย 2) พน้ื ที่ของรปู สีเ่ หลี่ยมมุมฉาก 3) อนุพันธ์ของฟังกช์ นั 4. ประโยชนท์ ่คี าดวา่ จะไดร้ บั 1. นกั เรยี นได้ทราบความสมั พนั ธ์ของด้านของรูปส่ีเหลี่ยมมุมฉากทีม่ ีพน้ื ที่มากสดุ ท่ีแนบในรูป สามเหลีย่ มมุมฉาก 2. นักเรียนได้ทราบสูตรพนื้ ทข่ี องรูปสเี่ หลยี่ มมมุ ฉากท่มี ีพืน้ ทีม่ ากสดุ ท่ีแนบในรปู สามเหลี่ยม มุมฉาก 3. นกั เรยี นได้ประยกุ ต์ใชค้ วามรคู้ ณิตศาสตร์เพอื่ ประยุกตใ์ ช้แกป้ ญั หา 4. นักเรยี นมเี จตคติทด่ี ีต่อวิชาคณติ ศาสตร์ 4 บทที่ 2 เอกสารท่ีเกี่ยวขอ้ ง การทาโครงงานคณิตศาสตร์ในครั้งนี้ คณะผู้จัดทา ได้ศึกษาเอกสารที่เกี่ยวข้อง ในเรื่องของสามเหลี่ยม คล้าย พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมมุมฉาก และการประยุกต์หาค่าสูงสุด ต่าสุดสัมพัทธ์โดยใช้อนุพันธ์ โดยมีสาระสาคัญ ตามลาดับหัวข้อ ดงั ต่อไปน้ี 1. สามเหลี่ยมคลา้ ย 2. พื้นท่ขี องรูปสเี่ หล่ียมมุมฉาก 3. อนพุ ันธ์ของฟงั กช์ นั ซึง่ มีรายละเอยี ดดังตอ่ ไปนี้ 1. สามเหลี่ยมคลา้ ย ในเรือ่ งสามเหลยี่ มคล้าย จะเป็นการศึกษาความสัมพนั ธ์ของรปู สามเหลี่ยมสองรูป โดยมีความสัมพันธ์กัน คือ ถ้ารปู สามเหลยี่ ม 2 รูป มีขนาดของมุมเทา่ กันเปน็ คู่ๆ 3 คู่ แล้วจะได้วา่ อัตราส่วนของความยาวของด้านที่สม นัยกันทั้ง 3 คู่ จะเท่ากัน จะเรียกรูปสามเหลี่ยม 2 รูป ที่มีความสัมพันธ์กันในลักษณะนี้ว่า “รูปสามเหลี่ยมท่ี คลา้ ยกนั ” เขียนเปน็ บทนิยามได้ดงั น้ี บทนยิ าม รูปสามเหลี่ยมสองรปู คล้ายกนั กต็ ่อเมอื่ รปู สามเหลย่ี มสองรปู นน้ั มีขนาดของมุมเทา่ กันเป็นคู่ ๆ ทุกคู่ ตัวอย่างท่ี 1 จงพิสูจน์ว่า รูปสามเหลี่ยม ABC คล้ายกับรูปสามเหลี่ยม DEC พร้อมทั้งเขียนอัตราส่วนด้านท่ี สมนยั กนั มาใหค้ รบทุกคู่ วิธที า เนอื่ งจาก 1.    (มุมฉาก) ABC DEC 5 2.   (มุมร่วมกนั ) AC B  DC E 3. B   E  (มมุ สองมุมเทา่ กนั มุมท่ีเหลอื ย่อมเทา่ กันด้วย) A AC DC ดงั นั้น ABC  DEC b และเน่อื งจาก ABC  DEC จะได้วา่ D อตั ราส่วนดา้ นท่ีสมนยั กนั จะมีคา่ เท่ากนั เสมอ c ดังนนั้ AB  BC  AC xz DE EC DC หรือ c  a  b B E yC a xyz ตวั อย่างที่ 2 ภาพท่ี 2.1 กาหนดให้ รปู สามเหลีย่ ม ABC คล้ายกับ รูปสามเหล่ียม DEF จงหาความยาวดา้ น DE วิธที า A เนอื่ งจาก ABC  DEF จะไดว้ ่าอัตราส่วนด้านที่สมนัยกนั จะเท่ากัน จะได้ AB BC D  DE EF x 8 6 8cm C E 3 cm DE 3 cm ภาพท่ี 2.2 DE  8  3 6 DE  4 ดงั นัน้ ความยาวด้าน DE เท่ากับ4 เซนติเมตร B 6 cm F 2. พื้นท่ีของรปู สีเ่ หลี่ยมมมุ ฉาก ในเรขาคณิตแบบยูคลิด รูปส่เี หลยี่ มมุมฉาก คือรปู ส่ีเหล่ยี มชนดิ หนึ่งท่ีมุมทั้งสขี่ องมันเป็นมุมฉาก ส่วนคา ว่า รูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า หมายถึงรูปสี่เหลี่ยมมุมฉากที่ไม่ใช่รูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส จากการให้การจากัดความนี้ 6 สเี่ หลีย่ มผืนผา้ ยังมดี ้านสองดา้ นทีข่ นานกนั ซึง่ กห็ มายความว่าส่เี หลยี่ มผืนผา้ เปน็ รปู สี่เหลี่ยมด้านขนาน รูปสี่เหลี่ยม จัตุรัสเป็นรูปชนิดพิเศษของสี่เหลี่ยมผืนผ้า โดยด้านทั้งสี่ด้านมีความยาวเท่ากัน ดังนั้นสี่เหลี่ยมจัตุรัสจึงเป็นทั้ง ส่เี หลี่ยมผนื ผา้ และรูปสเี่ หลีย่ มขนมเปยี กปูน โดยปกติแล้ว ด้านตรงกนั ขา้ มสองดา้ นในสเี่ หล่ยี มผืนผ้า ด้านที่ยาวกว่า จะถกู เรยี กว่า ด้านยาว ของสเ่ี หลยี่ มผืนผา้ และด้านที่สัน้ กว่าจะถูกเรยี กว่า ด้านกว้าง พน้ื ทีข่ องส่ีเหล่ยี มผืนผ้า เทา่ กับ ความกวา้ งความยาว พื้นท่ขี องสเ่ี หลยี่ มจัตุรัส เท่ากบั ด้านด้าน (ความกวา้ งและความยาวเท่ากนั เรียกดา้ นกวา้ งและดา้ น ยาวว่า “ดา้ น”) ดงั นัน้ สรปุ “พื้นที่ของรปู สีเ่ หลยี่ มมุมฉากจะเทา่ กบั ความกว้างx ความยาว” ตัวอยา่ ง พื้นทข่ี องส่ีเหลี่ยมผืนผา้ มีความยาว 5 ซม. และความกวา้ ง 4 ซม. จะมีพน้ื ทเ่ี ทา่ กบั ด้านกวา้ งดา้ น ยาว = 45 = 20 ดังนน้ั ส่ีเหลย่ี มผนื ผ้าจะมพี ้นื ท่เี ท่ากับ 20 ตารางเซนตเิ มตร 3. อนุพนั ธ์ของฟังก์ชนั ในหวั ข้อน้ีจะกลา่ วถึงการหาอนุพนั ธ์ของฟงั ก์ชัน ซงึ่ มนี ยิ ามดังนี้ บทนยิ าม ให้ y  f x เป็นฟงั ก์ชนั ที่มีโดเมนและเรนจ์เปน็ สบั เซตของจานวนจริง แล้วอนพุ ันธ์ของฟังกช์ นั f x เทา่ กบั lim f x  h f x เขยี นแทนด้วย f 'x หรอื dy h0 h dx การหาอนพุ ันธ์ของฟังกช์ ันพีชคณิตโดยใชบ้ ทนิยามของอนุพนธข์ องฟงั กช์ ันในรูปของลมิ ิตนัน้ คอ่ นข้างย่งุ ยาก ดังนนั้ เพื่อให้การหาอนุพนั ธส์ ามารถทาไดส้ ะดวกและรวดเร็ว จึงได้มกี ารสร้างสตู รทใี่ ช้ การหาอนุพันธ์ขน้ึ มา โดยสามารถพิสจู น์ไดโ้ ดยใชบ้ ทนยิ ามอนุพนั ธ์และทฤษฎีบทของลิมติ โดยผ้จู ัดทา จะนาเสนอสูตรการหาอนุพนั ธ์ของฟังก์ชันพีชคณิตท่สี าคัญทั้งหมด 8 สตู ร ดังนี้ สูตรที่ 1 ถา้ f x  c เม่อื c เป็นคา่ คงท่ี แล้ว f 'x  0 สตู รที่ 2 ถา้ f x  x แลว้ f 'x  1 สูตรท่ี 3 ถา้ f x  xn เมอื่ n เป็นจานวนจริง แล้ว f 'x  nxn1 7 สตู รท่ี 4 ถ้า f และ g หาอนุพันธ์ได้ที่ x แลว้  f  g'x  f 'x g'x สตู รที่ 5 ถา้ f และ g หาอนุพนั ธไ์ ดท้ ่ี x แลว้  f  g'x  f 'x g'x สตู รท่ี 6 ถ้า c เป็นค่าคงตวั และ f หาอนุพนั ธ์ได้ที่ x แล้ว cf 'x  c f 'x สตู รที่ 7 ถา้ f และ g หาอนพุ นั ธไ์ ด้ที่ x แล้ว  fg'x  f xg'x gx f 'x สตู รที่ 8 ถ้า f และ g หาอนพุ ันธไ์ ดท้ ่ี x แลว้  f 'x  gx f 'x  f xg'x g gx2 1.1 อนพุ ันธ์อนั ดับสูง จากการหาอนพุ ันธ์ของฟงั กช์ ันทีผ่ ่านมาจะพบว่า เม่ือหาอนพุ ันธ์ของฟงั กช์ นั f ที่ x ใด ๆ จะได้เปน็ f 'x นอกจากนี้ยังสามารถหาอนุพันธข์ องฟังก์ชนั f 'x เทยี บกบั x แทนด้วย f ''x เรยี ก f ''x วา่ อนุพันธอ์ ันดับท่ีสองของฟงั ก์ชัน f ท่ี x ทานองเดยี วกัน สามารถหาอนุพันธข์ อง f ''xเทียบกับ x เช่นนี้น้ไี ปเรอื่ ย ๆ ซ่งึ จะสรุปได้ดงั น้ี อนุพนั ธข์ องฟงั ก์ชัน f ที่ x แทนด้วย f 'x หรือ dy dx อนุพนั ธอ์ นั ดับทีส่ องของฟังก์ชัน f ที่ x แทนด้วย f ''x หรือ d2y dx2 อนพุ นั ธอ์ นั ดบั ท่สี ามของฟังก์ชนั f ท่ี x แทนดว้ ย f '''x หรือ d3y dx3 อนพุ ันธ์อันดับที่ส่ีของฟงั กช์ นั f ท่ี x แทนด้วย f 4 x หรือ d4y dx4  อนุพนั ธอ์ นั ดบั ที่ n ของฟังกช์ ัน f ที่ x แทนด้วย f n x หรอื dny dx4 1.2 การประยุกต์อนุพนั ธ์ ในหัวขอ้ นจ้ี ะกล่าวถึงการประยุกต์ของอนุพันธ์ โดยใช้อนุพันธ์หาค่าสูงสุดและค่าต่าสุดของสิ่งที่ต้องการ ศึกษาจากปัญหาทั่วไป การแก้ปัญหาเกี่ยวกับการหาค่าสูงสุดและค่าต่าสุดนั้น มักจะจาลองปัญหานั้นด้วยฟังก์ชัน 8 เชน่ สมมติว่า y  f x เป็นฟงั ก์ชนั ทเ่ี ขียนข้ึนจากปัญหาท่ีต้องการทราบว่าคา่ x เป็นเท่าใด จึงจะทาให้ y มี คา่ สงู ทสี่ ุดหรอื ตา่ ท่สี ดุ ในการพิจารณาคาสงู สดุ หรอื ค่าต่าสดุ ของฟังก์ชันโดยใชอ้ นุพันธ์ของฟังก์ชัน จะต้องมคี วามร้เู กีย่ วกบั ฟงั กช์ นั เพ่ิมและฟงั ก์ชันลด ดังนี้ 1. ถ้า f x เป็นฟังกช์ ันเพม่ิ บนเซต A ก็ก็ต่อเม่ือ สาหรบั สมาชิก x1, x2 ใด ๆ ในเซต A ถ้า x1  x 2 แล้ว f x1   f x2  2. ถ้า f x เป็นฟงั กช์ นั ลดบนเซต A ก็ต่อเมื่อ สาหรบั สมาชิก x1, x2 ใด ๆ ในเซต A ถา้ x1  x2 แลว้ f x1   f x2  ในการพิจารณาฟังก์ชนั เพ่ิมและฟังก์ชันลดโดยใชอ้ นุพนั ธ์มีวธิ กี ารพจิ ารณา ดงั น้ี ให้ f เปน็ ฟังกช์ ันท่หี าอนุพันธ์ได้บนชว่ ง A ซง่ึ A  Df 1. ถา้ f 'x  0 สาหรบั ทกุ x  A แล้ว f เปน็ ฟงั กช์ นั ลด บนชว่ ง A 2. ถ้า f 'x  0 สาหรบั ทุก x  A แลว้ f เป็นฟงั ก์ชันเพิ่ม บนชว่ ง A จะนาความรู้เกี่ยวกับอนุพันธ์ของฟังก์ชันจากทฤษฎีบทนี้ไปใช้ในการพิจารณาค่าสูงสุดและค่าต่าสุดของ ฟังก์ชนั แต่ก่อนจะพจิ ารณาคา่ สงู สดุ และค่าต่าสดุ ของฟังก์ชัน ควรรู้จักค่าสูงสุดสัมพัทธ์และค่าต่าสุดสัมพัทธ์ โดยมี บทนยิ ามดังน้ี บทนยิ าม 1. f x มคี า่ สงู สุดสัมพัทธ์ที่ x  c ถ้ามีชว่ ง a,b  Df ซง่ึ c  a,b และ f c  f x สาหรบั ทกุ x  a,b เรยี ก f c วา่ ค่าสูงสุดสัมพัทธ์ของฟงั ก์ชนั f 2. f x มีค่าตา่ สดุ สัมพัทธ์ที่ x  c ถ้ามีชว่ ง a,b  Df ซง่ึ c  a,b และ f c  f x สาหรับทุก x  a,b เรยี ก f c ว่าค่าตา่ สุดสัมพทั ธ์ของฟงั ก์ชนั f ทฤษฎีบท 1 ให้ f เปน็ ฟังก์ชันทน่ี ิยามบนชว่ ง a,b ซง่ึ c  a,b และ f 'c หาคา่ ได้ ถา้ f c เป็นคา่ สูงสดุ สมั พัทธ์ หรือ ค่าต่าสุดสมั พทั ธข์ อง f จะได้วา่ f 'c  0 และเรียกคา่ c ที่ทาให้ f 'c  0 ว่า คา่ วิกฤต (Critical Value) ของฟังกช์ นั f 9 ทฤษฎบี ท 2 กาหนดให้ f เปน็ ฟังก์ชันทีต่ ่อเนื่องบนช่วง A ใด ๆ และ c เปน็ คา่ วิกฤตของ f ซง่ึ f 'c  0 1. ถ้า f 'c  0 แลว้ f c เปน็ คา่ ต่าสดุ สัมพัทธ์ 2. ถ้า f 'c  0 แล้ว f c เปน็ คา่ สูงสดุ สมั พทั ธ์ เม่อื กาหนดฟงั กช์ นั f x อาจหาคา่ สงู สุดสมั พัทธ์หรอื ค่าต่าสุดสมั พัทธไ์ ด้หลายคา่ และอาจ บอกไดว้ า่ คา่ ใดมีค่าสงู ทีส่ ุดหรือคา่ ใดมีค่าตา่ ทีส่ ุดในชว่ ง ๆ หนึ่ง แต่ค่าดงั กลา่ วอาจไมใ่ ชค่ ่าสูงที่สดุ หรอื ต่าที่สดุ ในบรรดาค่าของ f x สาหรบั ทกุ x ทอ่ี ยู่ในโดเมนของ f ตอ่ ไปน้ีจะกลา่ วถึงคา่ ทีส่ งู ท่ีสุดและคา่ ต่าท่สี ุดในบรรดาค่าของ f x ทง้ั หมดในโดเมนของ f ซง่ึ ค่าทสี่ งู ทส่ี ุดของ f x ในโดเมนของ f จะเรียกวา่ คา่ สูงสุดสัมบูรณ์ และเรยี กค่าท่ีต่าท่ีสุดของ f x ใน โดเมนของ f วา่ คา่ ตา่ สดุ สัมบูรณ์ ซึ่งนิยามไดด้ งั น้ี บทนยิ าม 1. ฟังก์ชนั f มีค่าสงู สุดสมั บูรณท์ ี่ x  c เม่อื f c  f x สาหรับทกุ x ในโดเมนของ f 2. ฟังกช์ ัน f มีคา่ ตา่ สุดสมั บูรณ์ท่ี x  c เมอ่ื f c  f x สาหรบั ทกุ x ในโดเมนของ f ขน้ั ตอนการหาคา่ สูงสุดสัมบูรณ์และค่าตา่ สดุ สัมบูรณ์ ถ้าฟงั ก์ชนั f เป็นฟงั ก์ชันต่อเน่ืองบนช่วงปิด a,b แล้ว จะสามารถหาคา่ สูงสุดสัมบรู ณ์และคา่ ต่าสดุ สมั บรู ณข์ อง ฟังก์ชนั f ตามขัน้ ตอนดังน้ี 1. หาคา่ วิกฤตทง้ั หมดในช่วงปดิ a,b 2. หาค่าของฟังก์ชัน ณ คา่ วกิ ฤตที่ได้จากข้อ 1 3. หาค่า f a และ f b 4. เปรียบเทยี บค่าที่ได้จากขอ้ 2 และข้อ 3 ซงึ่ จะทาให้ได้ขอ้ สรุปวา่ ค่ามากท่สี ดุ จากข้อ 2 และขอ้ 3 จะเป็นคา่ สูงสุดสัมบูรณ์ของฟังกช์ นั f ค่าน้อยทส่ี ดุ จากข้อ 2 และขอ้ 3 จะเปน็ จะเป็นคา่ ตา่ สดุ สมั บรู ณ์ของฟังก์ชนั f โจทย์ปัญหาเกยี่ วกับคา่ สูงสุดสัมบรู ณ์และคา่ ต่าสดุ สัมบูรณ์ ในขนั้ ตอนการแก้โจทยป์ ญั หาเกย่ี วกบั ค่าสูงสดุ หรือคา่ ต่าสดุ จะตอ้ งพจิ ารณาเงื่อนไขของ ฟังก์ชนั ท่ีกาหนดใหว้ ่ามโี ดเมนเปน็ อยา่ งไร และปญั หาต้องการให้หาคา่ สูงสดุ สัมพัทธ์ คา่ ต่าสุดสัมพัทธ์ 10 คา่ สงู สุดสัมบรู ณ์ หรือคา่ ต่าสุดสมั บูรณ์ ซ่ึงมหี ลักเกณฑ์และข้ันตอนดงั น้ี 1. ทาความเขา้ ใจปญั หาอย่างละเอยี ดให้ทราบแนน่ อนวา่ ต้องการหาค่าสงู สดุ หรือค่าตา่ สุด ของอะไร ให้กาหนดสิ่งนนั้ ด้วยตวั แปร y และกาหนดตัวแปร x แทนสง่ิ ที่จะกาหนดคา่ ของ y 2. เขียนสมการแสดงความสัมพันธ์ของ y และ x ในรปู y  f x เม่อื f เปน็ ฟังก์ชนั 3. หา f 'x ซงึ่ เป็นอนุพนั ธ์ของ f x เทียบกับตวั แปร x 4. ให้สมการ f x  0 แลว้ แกส้ มการหาค่า x จะได้คา่ วกิ ฤตของฟังก์ชนั f 5. นาคา่ วิกฤตมาตรวจสอบวา่ ให้คา่ สูงสุดหรือต่าสุดหรือไม่ 11 บทที่3 วิธกี ารดาเนินการ โครงงานคณิตศาสตรเ์ รื่อง มหัศจรรย์รูปสเ่ี หลย่ี มแนบในสามเหลยี่ ม คณะผจู้ ัดทาไดด้ าเนินงานข้ันตอน ของการจัดทาโครงงาน ซงึ่ มีข้ันตอนและรายละเอียดดังนี้ 1. เครอ่ื งมือที่ใช้ศกึ ษา 1)สอ่ื กระดาษรปู สามเหลี่ยมมุมฉาก 2)โปรแกรม Geometer’s Sketchpad 3)หนงั สอื เรยี นวชิ าคณิตศาสตร์ 2. วิธกี ารดาเนินการ 1) ประชมุ ปรกึ ษาหารือเกี่ยวกับการจดั ทาโครงงาน 2) รวบรวมขอ้ มูลและศึกษาเอกสารทเี่ ก่ยี วขอ้ งกับการจดั ทาโครงงาน 3) เสนอข้อมูลต่อครูที่ปรึกษาโครงงานและขอคาปรกึ ษาชี้แนะเพ่ือจัดทาโครงงาน 4) ศกึ ษาเนอื้ หาและทฤษฎีทเี่ กี่ยวข้องกับเรือ่ งทีจ่ ะทาโครงงาน 5) พสิ ูจนค์ วามสมั พันธข์ องรปู สเี่ หลี่ยมมมุ ฉากทมี่ ีพ้ืนท่ีมากทสี่ ดุ ทแ่ี นบในรูปสามเหลยี่ มมุมฉากและหา พนื้ ทขี่ องรูปสเี่ หลยี่ มมุมฉากท่ีมากทสี่ ุด 6) นาผลที่ได้จากการศกึ ษามาประกอบข้อมลู และตรวจสอบยืนยนั ขอ้ มลู โดยใช้โปรแกรมGeometer’s Sketchpad 7) นาปัญหาที่พบมาปรึกษาครูท่ปี รึกษาเพื่อขอคาแนะนาและแก้ไข 8) ปรับปรงุ แก้ไขตามคาแนะนาของครทู ปี่ รกึ ษา 9) นาเสนอโครงงานต่อครูทีป่ รกึ ษา ตารางที่ 3.1 ปฏิทินการดาเนินงาน 12 ระยะเวลา รายการท่ปี ฏิบตั ิ 23 กนั ยายน 2563 ประชมุ กาหนดหัวข้อเรื่อง 24 – 28 กนั ยายน 2563 ปรึกษาครูทปี่ รึกษาโครงงาน นาเสนอหวั ข้อเรื่องต่อครูท่ีปรกึ ษาโครงงาน 29 กันยายน 2563 ศึกษาเอกสารและทฤษฎที ่ีเกี่ยวข้อง 2 – 14 ตลุ าคม 2563 นาข้อมูลมาวเิ คราะห์หาความสัมพันธข์ องด้าน 16 – 19 ตุลาคม 2563 สเ่ี หลย่ี มมุมฉากที่แนบในรูปสามเหล่ียมมมุ ฉาก สรปุ ผลการดาเนินงาน อภปิ รายผล และขอ้ เสนอแนะ 20 ตลุ าคม 2563 ปรกึ ษาครูท่ปี รกึ ษาโครงงานเพ่อื ขอคาแนะนา 21 ตลุ าคม 2563 ปรับปรุงแก้ไข 22 – 24 ตุลาคม 2563 จดั ทารปู เล่มโครงงาน 26 ตลุ าคม 2563 นาเสนอโครงงาน 3.วิธกี ารเกบ็ รวบรวมขอ้ มูล 1.ศึกษาเอกสารและเน้ือหาทีเ่ กยี่ วขอ้ งกับการจัดทาโครงงาน 2.ตรวจสอบข้อคาดการณ์โดยการใช้รูปสามเหล่ียมมุมฉากและวาดรปู สี่เหล่ียมขนาดตา่ งๆ แนบใน สามเหลย่ี มมุมฉากแล้วสงั เกตพนื้ ที่ 3.ตรวจสอบโดยการวาดรูปจาลองในโปรแกรม Geometer’s Sketchpad 4.นาขอ้ มลู ทางคณิตศาสตร์มาพิสจู นค์ วามสัมพนั ธ์เพื่อหาข้อสรปุ 13 บทท่ี 4 ผลการดาเนนิ งาน โครงงานคณติ ศาสตร์ เรื่อง มหัศจรรย์รูปสี่เหลี่ยมแนบในสามเหลี่ยม คณะผู้ศึกษาได้เริ่มศึกษาจากการ วาดรูปสี่เหลี่ยมมุมฉากในแบบต่างๆ ที่แนบในรูปแบบสามเหลี่ยมมุมฉากที่มีด้านประกอบมุมฉากยาว 29.7 เซนตเิ มตรและ 21 เซนตเิ มตร แลว้ เปรียบเทียบพ้นื ท่ี จากนัน้ จึงตรวจสอบข้อมูลด้วยการใชค้ วามรูค้ ณิตศาสตร์เรื่อง อนุพนั ธใ์ นการพิสจู น์ ซ่งึ มรี ายละเอยี ดดังน้ี ตารางที่ 4.1 ความกว้าง ความยาว และพื้นทชี่ องรูปสเ่ี หล่ียมแนบในสามเหลีย่ มมุมฉาก โดยการการวาด รปู ท่ี ความกวา้ ง(cm) ความยาว(cm) พ้นื ท่ี( cm2 ) 1 14.40 10.30 148.32 2 13.20 11.60 155.12 3 14.70* 10.60* 155.82** 4 12.70 11.60 147.32 5 18.20 8.020 149.24 6 19.10 7.40 141.34 7 13.60 11.30 153.68 8 13.90 10.10 140.39 จากตารางท่ี 4.1 พบว่าพนื้ ทร่ี ูปสี่เหลี่ยมมุมฉากที่แนบในรูปสามเหลี่ยมฉากตามรูปแบบที่วาดออกมีพื้นที่มากที่สุด 155.82 ตารางเซนตเิ มตร เมอื่ ความยาวเท่ากบั 10.60 เซนติเมตร และ 14.70 เซนติเมตร ตามลาดบั ตอ่ ไปผ้จู ัดทาไดจ้ าลองรปู สามเหล่ียมมมุ ฉากโดยใช้โปรแกรม Geometer’s Sketchpadซ่ึง กาหนดความยาวด้าน ของรปู สามเหลี่ยมมมุ ฉากเทา่ กับ 15 และ 20 เซนตเิ มตร ตามลาดับ จากนั้น สร้างรูปสี่เหลี่ยมมุมฉากแล้วลองปรับ ขนาดความกว้างและความยาวและสังเกตพนื้ ทแี่ สดงดังตารางต่อไปนี้ 14 ตารางที่4.2 ความกว้างและความยาวและพนื้ ท่ีของรปู ส่เี หลีย่ มมมุ ฉากท่แี นบในรูปสามเหลยี่ มมุมฉาก โดยใชโ้ ปรแกรม Geometer’s Sketchpad รปู ที่ ความกวา้ ง(cm ) ความยาว (cm) พืน้ ที่ ( cm2 ) 1 8.67 8.43 73.09 2 8.99 8.26 74.26 3 9.60 7.80 74.88 4 10** 7.5* 75.00** 5 11.93 6.05 72.18 6 8.93 8.09 72.27 จากตารางท่ี 4.2 พบว่าพน้ื ทีข่ องรปู ส่เี หล่ียมมมุ ฉากทแ่ี นบในรูปสามเหลีย่ มมุมฉากทมี่ ีด้านประกอบมุมฉาก ยาว 20 และ 15 เซนติเมตร ตามลาดบั ใช้การตรวจสอบโดยโปรแกรม Geometer’sSketchpad จะมพี ืน้ ท่มี ากท่สี ดุ 75 ตารางเซนตเิ มตร เมื่อความกวา้ ง และความยาวเท่ากับ 10 เซนติเมตร และ 7.5 เซนติเมตร ตามลาดบั รปู ท่ี1 รูปที่2 รปู ท่ี3 รูปที่4 รปู ที่5 รปู ที่6 ภาพที่4 1. รูปสเี่ หลย่ี มขนาดตา่ ง ๆ แนบในรปู สามเหลี่ยม 15 จากการทดลองทั้งสองกรณดี งั กล่าวขา้ งตน้ ทางให้คณะผ้จู ดั ทางสังเกตเหน็ ว่าถ้าความยาวด้าน ของสี่เหลี่ยมมุมฉากเกิดจากการแบ่งครึ่งด้านประกอบมุมฉากของรูปสามเหลี่ยมมุมฉากจะทาให้เกิดพื้นที่ที่มาก ทสี่ ุดของรูปสี่เหลีย่ มมมุ ฉากต่อไปจะพิสูจน์หาความสัมพันธ์ด้านของรูปสี่เหลี่ยมมุมฉากพื้นแนบ ใน รูปสามเหลี่ยม มุมฉากที่มีด้านประกอบมุมฉากยาว a,b เมื่อ a,b เป็นจานวนจริงบวกใดๆโดยมีเงื่อนไขว่าสี่เหลี่ยมมุมฉาก ดงั กลา่ วต้องมีพ้นื ท่มี ากทีส่ ุด จะใชค้ วามรเู้ ร่อื ง การประยกุ ต์อนพุ นั ธ์ ของฟังกช์ ันหาค่าสงู สดุ ต่าของ ดังน้ี กาหนดให้ รูปสามเหล่ยี มมมุ ฉากมดี ้านประกอบมมุ ฉากยาวa และ bหนว่ ย เมอ่ื a และb เป็นจานวนจริงบวกใดๆ รปู สเ่ี หล่ียมมุมฉากมีความกว้างและความยาว x และ y หน่วย ดงั รปู C a D x yb E A ภาพท่ี4 2. รูปสีเ่ หล่ียมมุมฉากแนบในรูปสามเหล่ียมมุมฉาก ขนั้ ตอนที่1 สร้างสมการ เน่ืองจาก ตอ้ งการหาพ้นื ท่มี ากท่สี ดุ ดงั น้ันสรา้ งสมการพื้นทีข่ องรูปส่ีเหล่ียมมมุ ฉาก พน้ื ทีร่ ูปส่ีเหลย่ี มมุมฉากเท่ากับ ความกวา้ ง x ความยาว จะได้ว่า x by ab bx = a(b - y) bx =ab - ay) ay = ab - bx f  a    2b  0  2  a 16 xa 2 yb 2   a   b   ab  2   2  4 แทนที่ y  b  b x ลงในสมการ(1)จะได้ a  xy พ้นื ทร่ี ปู สีเ่ หล่ยี มมุมฉาก  x(b  b x) a  bx  b x2 a กาหนดให้ f(x) เปน็ สมการพ้ืนท่ขี องรปู ส่ีเหล่ียมมมุ ฉาก จะได้ f(x)  bx  b x2 a ขั้นตอนท่ี2 หาคา่ สงู สุดสมั บรู ณ์ ต่อไปจะหาคา่ สงู สดุ สัมบรู ณข์ องฟังก์ชนั f(x) บนชว่ ง [0,a] 2.1หาค่าของฟงั กช์ ัน f(x) ทีจ่ ดุ ปลายของช่วงปิด [0,a] f (0)  b(0)  b (0)2  0 f (0)  0 a f (0)  b(a)  b (a)2  0 f (a)  0 a f (x)  bx  b x2 a f '(x)  b  2b x  0 a 2.2หาคา่ วกิ ฤตของฟงั ก์ชนั f(x) b  2b x a x  ab 2b xa 2 17 ค่าวกิ ฤตคือ x  a 2 f \"( a )   2b  0 2a เน่ืองจาก f \"(a)   2b  0 2a ดงั น้นั ที่จุดวิกฤต x  a ให้คา่ สงู สุดสมั พัทธ์ 2 2.3ตรวจสอบค่าสงู สดุ สัมบรู ณ์ เน่อื งจาก f(0) = 0, f(a) = 0 และ f (a) > 0 2 ดงั น้นั ค่า x  a ใหค้ า่ สูงสดุ สัมบรู ณ์ของฟังกช์ ัน f(x) 2 หาค่า y จาก y  b x a จะได้ y  b (a )  b a2 2 นั่นคือ ฟังกช์ ัน f(x) จะมีค่าสงู สดุ ในช่วง [0,a] เม่ือ x  a และ y  b 22 ดังนั้น รูปสี่เหลี่ยมมุมฉากที่แนบในรูปสามเหลี่ยมมุมฉากจะมีพื้นที่มากที่สุดเมื่อความยาวและความกว้างของรูป สี่เหลี่ยมยาวเป็นครึ่งหนึ่งของด้านประกอบมุมฉากแต่ละด้านของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก หรืออาจกล่าวได้ว่ารูป สเ่ี หลี่ยมมมุ ฉากที่แนบในรปู สามเหลย่ี มมมุ ฉากที่มดี ้านประกอบมมุ ฉากยาว a และb หน่วย จะมพี ื้นที่มากที่สุดเมื่อ ความยาวและความกว้างของรปู ส่เี หลย่ี มเท่า a และ b หนว่ ย ตามลาดับ 22 และจากพน้ื ที่รปู สเี่ หล่ยี มมุมฉาก = xy แทนคา่ x  a และ y  b 22 จะได้ว่ารปู ส่ีเหลย่ี มมุมฉากจะมีพืน้ ท่ีมากทสี่ ดุ เทา่ กบั  (a)(b)  ab 22 4 ดงั นั้นสรุปไดว้ า่ รูปส่ีเหลยี่ มมมุ ฉากท่แี นบในรูปสามเหลย่ี มมมุ ฉากท่ีมดี ้านประกอบมมุ ฉากยาวa และ b หน่วย จะมี พื้นทมี่ ากทีส่ ดุ เท่ากบั ab ตารางหนว่ ย 4 18 บทท่ี 5 สรุปผล อภปิ รายเเละข้อเสนอเเนะ โครงงานคณิตศาสตร์เรื่อง มหัศจรรย์สี่เหลี่ยมแนบในสามเหลี่ยมมีวัตถุประสงค์เพื่อ 1)หาความสัมพันธ์ ด้านของสเ่ี หล่ยี มมุมฉากที่มีมากที่สุดที่แนบในรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก และ2)เพื่อหาสูตรพื้นที่ของสี่เหลี่ยมมุมฉากท่ี มพี ทน้ ทม่ี ากทส่ี ุดแนบในสามเหลยี่ มมมุ ฉาก กรอบเน้อื หาทใี่ ชใ้ นการทาโครงงานในครง้ั นี้ คือ เรื่องสามเหลี่ยมคล้าย การหาพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยม และการประยุกต์อนุพันธ์เพื่อหาค่าสูงสุดและค่าต่าสุดของฟังก์ชัน ผู้ศึกษาได้ ดาเนนิ การจัดโครงงานในระยะเวลา1 เดอื น 4 วนั ระหวา่ งวันที่ วันที่ 23 กันยายน 2563 ถึง 26 ตุลาคม 2563 ซึ่ง สรุปผล อภิปรายผล ประโยชนท์ ไี่ ดร้ บั และข้อเสนอแนะของจัดทาโครงงาน ดงั รายละเอยี ดดังนี้ 1.สรปุ ผล จากการศึกษาความสมั พันธข์ องรปู สี่เหลี่ยมมมุ ฉากทมี่ ีพน้ื ที่มากสุดที่แนบในรปู สามเหลีย่ มมุมฉาก โดยใช้ ความรู้เรือ่ งการหาอนุพนั ธ์ของฟงั กช์ ัน สามารถสรุปผลการศึกษาไดด้ ังนี้ 1) รูปสี่เหลยี่ มมุมฉากท่ีแนบในรูปสามเหลย่ี มมมุ ฉากท่ีมดี า้ นประกอบมุมฉากยาว a และ b หน่วย จะมพี นื้ ที่มาก ทีส่ ดุ เมอื่ ความยาวและความกว้างของรูปส่เี หล่ียมเทา่ กับ a เเละ b หนว่ ย ตามลาดบั 22 2) รปู สีเ่ หลยี่ มมุมฉากที่แนบในรูปสามเหลี่ยมมุมฉากที่มีด้านประกอบมมุ ฉากยาว a และ b หนว่ ยจะมี พ้ืนท่ีมากทส่ี ุดเท่ากับ ตารางหน่วย 2.อภิปรายผล จากการศกึ ษาความสมั พนั ธข์ องรปู ส่เี หล่ียมมมุ ฉากที่มพี น้ื ท่มี ากสดุ ท่ีแนบในรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก โดยใช้ ความร้เู รอ่ื งการหาอนุพนธ์ของฟังก์ชัน พบว่า รูปสี่เหลี่ยมมุมฉากที่แนบในรูปสามเหลี่ยมมุมฉากที่มีความยาวด้าน ประกอบมุมฉากเท่ากับ a และ b หน่วย จะมีพื้นที่มากที่สุดเมื่อความกว้างสามเหลี่ยมมุมฉากและพื้นที่ของรูป 19 สี่เหลี่ยมมมุ ฉากท่มี ากท่ีสุด เทา่ กบั ab ตารางหน่วยน่ันคือพืน้ ท่รี ูปส่เี หลี่ยมมุมฉากจะมีค่าเป็นครึ่งหนึ่งของพื้นที่รูป 4 สามเหล่ยี มมมุ ฉาก 3.ประโยชน์ท่ไี ด้รับ 1. ได้ทราบความสัมพนั ธข์ องรูปส่ีเหล่ยี มมมุ ฉากทีม่ ีพืน้ ที่มากสุดทีแ่ นบในรูปสามเหล่ยี มมุมฉาก 2. ไดท้ ราบสูตรพน้ื ท่ีสีเ่ หลีย่ มมุมฉากท่มี ีพ้นื ท่ีมากสดุ ท่ีแนบในรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก 3. ได้นาความรคู้ ณติ ศาสตร์ไปประยกุ ต์ใช้และแกป้ ญั หา 4. นักเรียนได้ความรู้คณติ ศาสตร์แบบบูรณาการจากการทาโครงงาน 5. นกั เรยี นมเี จตคติท่ีดีและเห็นประโยชนข์ องวชิ าคณติ ศาสตร์ 4.ข้อเสนอแนะ 1. ใช้ความรู้คณติ ศาสตร์ในเรื่องอ่ืนๆมาประยุกต์ใช้แก้ปัญหาในเรอ่ื งพน้ื ทมี่ ากสดุ ของรูป สี่เหล่ียมมมุ ฉากแนบในรูปสามเหล่ยี มมมุ ฉาก 2. ใชค้ วามรู้เรื่องค่าสงู สดุ และคา่ ตา่ สดุ โดยใช้อนุพันธ์แก้ปัญหาในสถานการณอ์ ่ืนๆใน ระดับสูงข้ึนไป 3. นาความรูท้ ่ีไดจ้ ากโครงงานไปตอ่ ยอดในเร่ืองอน่ื ๆต่อไป 20 บรรณานุกรม สง่ เสริมการสอนวทิ ยาศาสตร์และเทคโนโลยี,สถาบัน. (2554 ) หนังสือเรียนรายวชิ าพน้ื ฐาน คณติ ศาสตร์ เลม่ 1ชนั้ มัธยมศกึ ษาปีที่ 3. พมิ พค์ รง้ั ท่ี1ท่ี . กรุงเทพมหานคร : โรงพิมพ์ สกสค. ลาดพรา้ ว. สง่ เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตร์และเทคโนโลยี,สถาบัน. (2556). หนังสือเรียนรายวิชาเพิ่มเติม คณติ ศาสตร์ เลม่ 6 ชน้ั มธั ยมศกึ ษาปที ี่4-6.พิมพ์ครั้งที่4. กรุงเทพมหานคร : โรงพิมพ์ สกสค. ลาดพร้าว. วิกิพีเดีย สารานุกรมเสรี. (2559). รปู สเ่ี หลยี่ มมมุ ฉาก. ค้นเมื่อ25สิงหาคม 2560, จาก https://th.wikipedia.org/wiki/รปู ส่เี หลีย่ มมุมฉาก 21 ภาคผนวก 22 ปรกึ ษาและออกแบบวิธกี ารดาเนินงาน 23 วาดรปู สเี่ หลยี่ มมุมฉากแบบต่างๆทแ่ี นบในรปู สามเหล่ียมมุมฉาก 24 สร้างแบบจาลองรปู สามเหล่ยี มจากกระดาษ 25 ภาพการจาลองพ้ืนทโี่ ดยใชโ้ ปรแกรม Geometer’s Sketchpad 26 ภาพการจาลองพ้ืนทโี่ ดยใชโ้ ปรแกรม Geometer’s Sketchpad 27