ระยะห่างระหว่างจุดกับเส้นตรง พิสูจน์

การพิสูจน์.

เข้าเรื่องกันเลย ซึ่งอยู่บนเส้น เอแล้วพิกัดของจุด M1สนองสมการ

ถ้า font-size:12.0pt;line-height:115%;font-family:Verdana"> ขมีรูปแบบfont-size:12.0pt;line-height:115%;font-family:Verdana"> และ ifแล้วสมการตั้งฉากของเส้นตรง ขมีรูปแบบfont-size:12.0pt;line-height:115%;font-family:เวอร์ดานา">.

แล้วที่ font-size:12.0pt;line-height:115%;font-family:Verdana">ระยะทางจากจุดตรง ขคำนวณโดยสูตร, และ ใน - ตามสูตร

นั่นคือสำหรับค่าใด ๆ C2ระยะทางจากจุด ตรง ขสามารถคำนวณได้โดยใช้สูตร. และให้ความเท่าเทียมกัน

2. การแก้ปัญหาการหาระยะห่างระหว่างเส้นคู่ขนาน

ตัวอย่าง # 1

หาระยะห่างระหว่างเส้นคู่ขนานและ

เราได้สมการทั่วไปของเส้นคู่ขนานที่กำหนด

เพื่อความตรงไปตรงมา ขนาดตัวอักษร:12.0pt line-height:115%;font-family:Verdana">สอดคล้องกับสมการทั่วไปของเส้น

ขนาดตัวอักษร:12.0pt line-height:115%;font-family:Verdana">ค่าสัมประสิทธิ์ตัวแปร xและ yในสมการทั่วไปที่ได้รับ เส้นคู่ขนานนั้นเท่ากัน ดังนั้นเราจึงสามารถใช้สูตรในการคำนวณระยะห่างระหว่างเส้นคู่ขนานในระนาบได้ทันที:

ตอบ: ขนาดตัวอักษร:12.0pt line-height:115%;font-family:Verdana">ตัวอย่าง #2.

ระบบพิกัดสี่เหลี่ยมถูกนำมาใช้บนเครื่องบิน Oxyและให้สมการของเส้นคู่ขนานสองเส้นและ

การตัดสินใจ:

ทางออกแรก

สมการ Canonical ของเส้นตรงบนระนาบของรูปแบบขนาดตัวอักษร:12.0pt line-height:115%;font-family:Verdana"> ให้คุณบันทึกพิกัดของจุดได้ทันที M1นอนอยู่บนบรรทัดนี้:ขนาดตัวอักษร:12.0pt line-height:115%;font-family:Verdana">. ระยะทางจากจุดนี้ถึงเส้นเท่ากับระยะทางที่ต้องการระหว่างเส้นคู่ขนาน สมการเป็นสมการปกติของเส้นตรง ดังนั้น เราจึงสามารถคำนวณระยะทางจากจุดนั้นได้ทันทีตรง font-size:12.0pt;line-height:115%;font-family:Verdana">:

ทางออกที่สอง

สมการทั่วไปของเส้นคู่ขนานที่ให้มาเราได้แล้วfont-size:12.0pt;line-height:115%;font-family:Verdana"> นี่คือสมการบัญญัติของเส้นตรง

คำตอบ: 8

3. การบ้าน

งานสำหรับการทดสอบตัวเอง

1. จงหาระยะห่างระหว่างเส้นคู่ขนานสองเส้น

4. บทสรุป

บรรลุเป้าหมายและวัตถุประสงค์ที่ตั้งไว้ทั้งหมดเรียบร้อยแล้ว บทเรียนสองบทได้รับการพัฒนาจากหัวข้อ "การจัดเรียงวัตถุร่วมกันบนเครื่องบิน" ในหัวข้อ "ระยะทางจากจุดหนึ่งไปยังอีกเส้นหนึ่ง ระยะห่างระหว่างเส้นคู่ขนาน” โดยใช้วิธีพิกัด เนื้อหานี้ได้รับการคัดเลือกในระดับที่เข้าถึงได้สำหรับนักเรียน ซึ่งจะช่วยให้สามารถแก้ปัญหาในเรขาคณิตด้วยวิธีการที่ง่ายและสวยงามยิ่งขึ้น

5. รายการวรรณกรรม

1) , ยูดินา. ป.7-9 : หนังสือเรียนสำหรับสถานศึกษา

2) , พอซเนียค. หนังสือเรียนสำหรับชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 10-11

3) , Nikolsky คณิตศาสตร์. เล่มที่หนึ่ง: องค์ประกอบของพีชคณิตเชิงเส้นและเรขาคณิตวิเคราะห์

4) , เรขาคณิตพอซเนียก.

6.APPS

เอกสารอ้างอิง

สมการทั่วไปของเส้นตรง:

อา + อู๋ + ซี = 0 ,

ที่ไหน แต่และ ที่ไม่เท่ากับศูนย์ในเวลาเดียวกัน

อัตราต่อรอง แต่และ ที่เป็นพิกัด เวกเตอร์ปกติเส้นตรง (เช่น เวกเตอร์ตั้งฉากกับเส้นตรง) ที่ เอ = 0 เส้นตรงขนานกับแกน โอ้, ที่ ข = 0 เส้นตรงขนานกับแกน อู๋ Y .

ที่ ที่0 รับ สมการความชัน:

สมการเส้นตรงผ่านจุด ( X 0 , ที่ 0) และไม่ขนานกับแกนออย, ดูเหมือนกับ:

ที่ – ที่ 0 = ม (x – X 0) ,

ที่ไหน ม – ความลาดชัน เท่ากับแทนเจนต์ของมุมที่เกิดจากเส้นที่กำหนดและทิศทางบวกของแกน โอ้ .

ที่ แต่ font-size:12.0pt;font-family:Verdana;color:black">

ที่ไหน เอ= – ค / อา , ข = – ค / บี. เส้นนี้ผ่านจุด (เอ, 0) และ (0, ข) เช่น ตัดส่วนความยาวแกนพิกัดออกเอและ ข .

สมการของเส้นที่ลากผ่านจุดต่าง ๆ สองจุด (X 1, ที่ 1) และ ( X 2, ที่ 2):

สมการพาราเมตริกของเส้นตรงผ่านจุด ( X 0 , ที่ 0) และขนาน ทิศทางเวกเตอร์ตรง (เอ, ข) :

เงื่อนไขของเส้นคู่ขนาน:

1) สำหรับเส้นตรง ขวาน + Vy + C = 0 และดีx+อีy+F = 0: AE – BD = 0 ,

2) สำหรับเส้นตรง ที่ = มx+ kและ ที่= พีx+ q: ม= พี .

ในเนื้อหาของบทความนี้ เราจะวิเคราะห์คำถามในการหาระยะห่างระหว่างเส้นคู่ขนานสองเส้น โดยเฉพาะโดยใช้วิธีการพิกัด การวิเคราะห์ตัวอย่างทั่วไปจะช่วยรวบรวมความรู้เชิงทฤษฎีที่ได้รับ

Yandex.RTB R-A-339285-1 คำจำกัดความ 1

ระยะห่างระหว่างเส้นขนานสองเส้นคือระยะทางจากจุดใดๆ บนเส้นขนานหนึ่งไปยังอีกเส้นหนึ่ง

นี่คือภาพประกอบเพื่อความชัดเจน:

ภาพวาดแสดงเส้นคู่ขนานสองเส้น เอและ ข. จุด M 1 เป็นของเส้น a เส้นตั้งฉากกับเส้นหลุดจากมัน ข. ส่วนผลลัพธ์ M 1 H 1 คือระยะห่างระหว่างเส้นคู่ขนานสองเส้น เอและ ข.

คำจำกัดความที่ระบุของระยะห่างระหว่างเส้นคู่ขนานสองเส้นนั้นใช้ได้ทั้งในระนาบและสำหรับเส้นในพื้นที่สามมิติ นอกจากนี้ คำจำกัดความนี้เกี่ยวข้องกับทฤษฎีบทต่อไปนี้

ทฤษฎีบท

เมื่อเส้นสองเส้นขนานกัน จุดใดจุดหนึ่งจะอยู่ห่างจากอีกเส้นเท่ากัน

การพิสูจน์

ให้เราได้เส้นขนานสองเส้น เอและ ข. อยู่บนเส้นตรง เอจุด M 1 และ M 2 เราวางฉากตั้งฉากจากพวกมันไปที่เส้น ขแสดงถึงฐานตามลำดับเป็น H 1 และ H 2 M 1 H 1 คือระยะห่างระหว่างเส้นคู่ขนานสองเส้นตามคำจำกัดความ และเราต้องพิสูจน์ว่า | M 1 H 1 | = | M 2 H 2 | .

ให้ยังมีซีแคนต์ที่ตัดกับเส้นคู่ขนานที่กำหนดสองเส้น เงื่อนไขของการขนานกันของเส้นที่พิจารณาในบทความที่เกี่ยวข้อง ทำให้เรามีสิทธิที่จะยืนยันว่าในกรณีนี้ มุมนอนขวางภายในที่เกิดขึ้นที่จุดตัดของซีแคนต์ของเส้นที่กำหนดจะเท่ากัน: ∠ M 2 M 1 H 2 = ∠ H 1 H 2 M 1 เส้น M 2 H 2 ตั้งฉากกับเส้น b โดยโครงสร้าง และแน่นอน ตั้งฉากกับเส้น a สามเหลี่ยมที่ได้ M 1 H 1 H 2 และ M 2 M 1 H 2 เป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าและเท่ากันในแง่ของด้านตรงข้ามมุมฉากและมุมแหลม: M 1 H 2 คือด้านตรงข้ามมุมฉากทั่วไป ∠ M 2 M 1 H 2 = ∠ H 1 H 2 M 1 . จากความเท่าเทียมกันของสามเหลี่ยม เราสามารถพูดถึงความเท่าเทียมกันของด้านของมันได้ เช่น | M 1 H 1 | = | M 2 H 2 | . ทฤษฎีบทได้รับการพิสูจน์แล้ว

โปรดทราบว่าระยะห่างระหว่างเส้นคู่ขนานสองเส้นเป็นระยะห่างที่น้อยที่สุดจากจุดบนเส้นหนึ่งไปยังอีกจุดหนึ่ง

การหาระยะห่างระหว่างเส้นคู่ขนาน

เราพบแล้วว่าในความเป็นจริง ในการหาระยะห่างระหว่างเส้นคู่ขนานสองเส้น จำเป็นต้องกำหนดความยาวของเส้นตั้งฉากที่ตกจากจุดหนึ่งไปยังอีกเส้นหนึ่ง มีหลายวิธีในการทำเช่นนี้ ในบางปัญหาจะสะดวกที่จะใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัส อื่น ๆ เกี่ยวข้องกับการใช้เครื่องหมายความเท่าเทียมกันหรือความคล้ายคลึงกันของรูปสามเหลี่ยม ฯลฯ ในกรณีที่กำหนดเส้นในระบบพิกัดสี่เหลี่ยม สามารถคำนวณระยะห่างระหว่างเส้นคู่ขนานสองเส้นโดยใช้วิธีการพิกัด ลองพิจารณาในรายละเอียดเพิ่มเติม

มากำหนดเงื่อนไขกัน สมมุติว่าระบบพิกัดสี่เหลี่ยมได้รับการแก้ไข โดยให้เส้นคู่ขนาน a และ b จำเป็นต้องกำหนดระยะห่างระหว่างเส้นที่กำหนด

เราจะสร้างวิธีแก้ปัญหาในการกำหนดระยะห่างระหว่างเส้นคู่ขนาน: เพื่อค้นหาระยะห่างระหว่างเส้นคู่ขนานที่กำหนด จำเป็น:

ค้นหาพิกัดของจุด M 1 ที่อยู่ในเส้นที่กำหนด

คำนวณระยะทางจากจุด M 1 ถึงเส้นตรงที่กำหนดซึ่งไม่ใช่จุดนี้

ขึ้นอยู่กับทักษะในการทำงานกับสมการของเส้นตรงในระนาบหรือในอวกาศ ง่ายต่อการกำหนดพิกัดของจุด M 1 เมื่อหาระยะทางจากจุด M 1 ถึงเส้นตรง เนื้อหาของบทความเรื่องการหาระยะทางจากจุดหนึ่งไปยังเส้นตรงจะมีประโยชน์

ลองกลับไปที่ตัวอย่าง ให้เส้น a อธิบายด้วยสมการทั่วไป A x + B y + C 1 = 0 และเส้น b อธิบายด้วยสมการ A x + B y + C 2 = 0 จากนั้นสามารถคำนวณระยะห่างระหว่างเส้นขนานสองเส้นที่กำหนดโดยใช้สูตร:

M 1 H 1 = C 2 - C 1 A 2 + B 2

มาหาสูตรนี้กัน

เราใช้บางจุด М 1 (x 1 , y 1) ที่เป็นของเส้น a ในกรณีนี้ พิกัดของจุด M 1 จะเป็นไปตามสมการ A x 1 + B y 1 + C 1 = 0 ดังนั้น ความเท่าเทียมกันจึงยุติธรรม: A x 1 + B y 1 + C 1 = 0; จากนั้นเราจะได้: A x 1 + B y 1 = - C 1 .

เมื่อ C2< 0 , нормальное уравнение прямой b будет иметь вид:

A A 2 + B 2 x + B A 2 + B 2 y + C 2 A 2 + B 2 = 0

ด้วย C 2 ≥ 0 สมการปกติของเส้นตรง b จะมีลักษณะดังนี้:

A A 2 + B 2 x + B A 2 + B 2 y - C 2 A 2 + B 2 = 0

และสำหรับกรณีที่ C 2< 0 , применима формула: M 1 H 1 = A A 2 + B 2 x 1 + B A 2 + B 2 y 1 + C 2 A 2 + B 2 .

และสำหรับ C 2 ≥ 0 ระยะทางที่ต้องการจะถูกกำหนดโดยสูตร M 1 H 1 = - A A 2 + B 2 x 1 - B A 2 + B 2 y 1 - C 2 A 2 + B 2 = = A A 2 + B 2 x 1 + B A 2 + B 2 y 1 + C 2 A 2 + B 2

ดังนั้น สำหรับค่าใดๆ ของตัวเลข C 2 ความยาวของส่วน | M 1 H 1 | (จากจุด M 1 ถึงบรรทัด b) คำนวณโดยสูตร: M 1 H 1 \u003d A A 2 + B 2 x 1 + B A 2 + B 2 y 1 + C 2 A 2 + B 2

ด้านบนเราได้: A x 1 + B y 1 \u003d - C 1 จากนั้นเราสามารถแปลงสูตร: M 1 H 1 \u003d - C 1 A 2 + B 2 + C 2 A 2 + B 2 \u003d C 2 - C 1 A 2 +B2. ดังนั้นเราจึงได้รับสูตรที่ระบุในอัลกอริธึมของวิธีการพิกัด

มาวิเคราะห์ทฤษฎีพร้อมตัวอย่างกัน

ตัวอย่างที่ 1

ให้เส้นขนานสองเส้น y = 2 3 x - 1 และ x = 4 + 3 · λ y = - 5 + 2 · λ . มีความจำเป็นต้องกำหนดระยะห่างระหว่างพวกเขา

การตัดสินใจ

สมการพาราเมตริกเริ่มต้นทำให้สามารถกำหนดพิกัดของจุดที่เส้นตรงผ่าน ซึ่งอธิบายโดยสมการพาราเมตริก ดังนั้นเราจึงได้จุด M 1 (4, - 5) . ระยะทางที่ต้องการคือระยะห่างระหว่างจุด M 1 (4, - 5) ถึงเส้นตรง y = 2 3 x - 1 มาคำนวณกัน

สมการที่กำหนดของเส้นตรงที่มีความชัน y = 2 3 x - 1 จะถูกแปลงเป็นสมการปกติของเส้นตรง ด้วยเหตุนี้ ขั้นแรก เราทำการเปลี่ยนไปใช้สมการทั่วไปของเส้นตรง:

y = 2 3 x - 1 ⇔ 2 3 x - y - 1 = 0 ⇔ 2 x - 3 y - 3 = 0

ลองคำนวณตัวประกอบการทำให้เป็นมาตรฐาน: 1 2 2 + (- 3) 2 = 1 13 . เราคูณสมการสุดท้ายทั้งสองส่วนด้วยมัน และสุดท้าย เราก็ได้โอกาสเขียนสมการปกติของเส้นตรง: 1 13 2 x - 3 y - 3 = 1 13 0 ⇔ 2 13 x - 3 13 y - 3 13 = 0.

สำหรับ x = 4 และ y = - 5 เราคำนวณระยะทางที่ต้องการเป็นโมดูลัสของค่าความเท่าเทียมกันสุดขั้ว:

2 13 4 - 3 13 - 5 - 3 13 = 20 13

ตอบ: 20 13 .

ตัวอย่าง 2

ในระบบพิกัดสี่เหลี่ยมตายตัว O x y เส้นขนานสองเส้นถูกกำหนดโดยสมการ x - 3 = 0 และ x + 5 0 = y - 1 1 จำเป็นต้องหาระยะห่างระหว่างเส้นคู่ขนานที่กำหนด

การตัดสินใจ

เงื่อนไขของปัญหากำหนดสมการทั่วไปหนึ่งสมการ โดยกำหนดโดยหนึ่งในบรรทัดดั้งเดิม: x-3=0 มาแปลงสมการบัญญัติดั้งเดิมให้เป็นสมการทั่วไปกัน: x + 5 0 = y - 1 1 ⇔ x + 5 = 0 สำหรับตัวแปร x สัมประสิทธิ์ในสมการทั้งสองจะเท่ากัน (เท่ากับ y - ศูนย์ด้วย) ดังนั้นเราจึงมีโอกาสใช้สูตรในการหาระยะห่างระหว่างเส้นคู่ขนานกัน:

M 1 H 1 \u003d C 2 - C 1 A 2 + B 2 \u003d 5 - (- 3) 1 2 + 0 2 \u003d 8

ตอบ: 8 .

สุดท้าย ให้พิจารณาปัญหาการหาระยะห่างระหว่างเส้นคู่ขนานสองเส้นในปริภูมิสามมิติ

ตัวอย่างที่ 3

ในระบบพิกัดสี่เหลี่ยม O x y z ให้เส้นขนานสองเส้น อธิบายโดยสมการบัญญัติของเส้นตรงในอวกาศ: x - 3 1 = y - 1 = z + 2 4 และ x + 5 1 = y - 1 - 1 = z - 2 4 . จงหาระยะห่างระหว่างเส้นเหล่านี้

การตัดสินใจ

จากสมการ x - 3 1 \u003d y - 1 \u003d z + 2 4 พิกัดของจุดที่เส้นตรงผ่านซึ่งอธิบายโดยสมการนี้สามารถกำหนดได้อย่างง่ายดาย: M 1 (3, 0, - 2 ) . มาคำนวณระยะทางกัน | M 1 H 1 | จากจุด M 1 ถึงเส้น x + 5 1 = y - 1 - 1 = z - 2 4 .

เส้นตรง x + 5 1 \u003d y - 1 - 1 \u003d z - 2 4 ผ่านจุด M 2 (- 5, 1, 2) เราเขียนเวกเตอร์ทิศทางของเส้นตรง x + 5 1 = y - 1 - 1 = z - 2 4 เป็น b → พร้อมพิกัด (1 , - 1 , 4) . ให้เรากำหนดพิกัดของเวกเตอร์ M 2 M → :

M 2 M 1 → = 3 - (- 5 , 0 - 1 , - 2 - 2) ⇔ M 2 M 1 → = 8 , - 1 , - 4

มาคำนวณผลคูณของเวกเตอร์กัน:

b → × M 2 M 1 → = i → j → k → 1 - 1 4 8 - 1 - 4 = 8 i → + 36 j → + 7 k → ⇒ b → × M 2 M 1 → = ( ​​8, 36 , 7)

ลองใช้สูตรคำนวณระยะทางจากจุดหนึ่งถึงเส้นตรงในช่องว่างกัน:

M 1 H 1 = b → × M 2 M 1 → b → = 8 2 + 36 2 + 7 2 1 2 + (- 1) 2 + 4 2 = 1409 3 2

ตอบ: 1409 3 2 .

หากคุณสังเกตเห็นข้อผิดพลาดในข้อความ โปรดไฮไลต์แล้วกด Ctrl+Enter

สี่เหลี่ยมด้านขนานเป็นรูปสี่เหลี่ยมที่มีด้านตรงข้ามขนานกัน กล่าวคือ อยู่บนเส้นคู่ขนาน (รูปที่ 1)

ทฤษฎีบทที่ 1 เกี่ยวกับคุณสมบัติของด้านและมุมของสี่เหลี่ยมด้านขนานในรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน ด้านตรงข้ามเท่ากัน มุมตรงข้ามเท่ากัน และผลรวมของมุมที่อยู่ติดกับด้านหนึ่งของสี่เหลี่ยมด้านขนานคือ 180°

การพิสูจน์. ในรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน ABCD นี้ ให้วาด AC ในแนวทแยงแล้วได้สามเหลี่ยม ABC และ ADC สองรูป (รูปที่ 2)

สามเหลี่ยมเหล่านี้มีค่าเท่ากัน เนื่องจาก ∠ 1 = ∠ 4, ∠ 2 = ∠ 3 (มุมตัดขวางที่เส้นคู่ขนาน) และด้าน AC เป็นเรื่องปกติ จากความเท่าเทียมกัน Δ ABC = Δ ADC เป็นไปตามนั้น AB \u003d CD, BC \u003d AD, ∠ B \u003d ∠ D. ผลรวมของมุมที่อยู่ติดกับด้านใดด้านหนึ่ง เช่น มุม A และ D เท่ากับ 180 ° เป็นด้านเดียวที่มีเส้นขนาน ทฤษฎีบทได้รับการพิสูจน์แล้ว

ความคิดเห็น ความเท่าเทียมกันของด้านตรงข้ามของสี่เหลี่ยมด้านขนานหมายความว่าส่วนของเส้นขนานที่ถูกตัดออกโดยส่วนที่ขนานกันนั้นเท่ากัน

ข้อพิสูจน์ 1 หากเส้นสองเส้นขนานกัน จุดทั้งหมดของเส้นหนึ่งจะอยู่ห่างจากอีกเส้นหนึ่งเท่ากัน

การพิสูจน์. อันที่จริงให้ || ข (รูปที่ 3).

ให้เราลากจากจุดสองจุด B และ C ของเส้น b ที่ตั้งฉาก BA และ CD ไปยังเส้น a ตั้งแต่ AB || CD แล้วรูป ABCD เป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน ดังนั้น AB = CD

ระยะห่างระหว่างเส้นคู่ขนานสองเส้นคือระยะห่างจากจุดใดจุดหนึ่งบนเส้นหนึ่งไปยังอีกเส้นหนึ่ง

จากสิ่งที่พิสูจน์แล้ว มันเท่ากับความยาวของเส้นตั้งฉากที่ลากจากจุดหนึ่งของเส้นคู่ขนานไปยังอีกเส้นหนึ่ง

ตัวอย่างที่ 1เส้นรอบวงของสี่เหลี่ยมด้านขนานคือ 122 ซม. ด้านหนึ่งยาวกว่าอีกด้านหนึ่ง 25 ซม. หาด้านข้างของสี่เหลี่ยมด้านขนาน

การตัดสินใจ.โดยทฤษฎีบท 1 ด้านตรงข้ามของสี่เหลี่ยมด้านขนานจะเท่ากัน ลองแสดงว่าด้านหนึ่งของสี่เหลี่ยมด้านขนานเป็น x อีกด้านหนึ่งเป็น y จากนั้นโดยเงื่อนไข $$\left\(\begin(matrix) 2x + 2y = 122 \\x - y = 25 \end(matrix)\right.$$ การแก้ระบบนี้ เราจะได้ x = 43, y = 18 ดังนั้น ด้านของสี่เหลี่ยมด้านขนานคือ 18, 43, 18 และ 43 ซม.

ตัวอย่าง 2

การตัดสินใจ.ให้รูปที่ 4 ตรงกับเงื่อนไขของปัญหา

แสดงว่า AB คูณ x และ BC คูณ y ตามเงื่อนไข เส้นรอบวงของสี่เหลี่ยมด้านขนานคือ 10 ซม. เช่น 2(x + y) = 10 หรือ x + y = 5. เส้นรอบวงของรูปสามเหลี่ยม ABD คือ 8 ซม. และเนื่องจาก AB + AD = x + y = 5 จากนั้น BD = 8 - 5 = 3 ดังนั้น BD = 3 ซม.

ตัวอย่างที่ 3หามุมของสี่เหลี่ยมด้านขนาน โดยรู้ว่ามุมหนึ่งมากกว่าอีกมุมหนึ่ง 50 องศา

การตัดสินใจ.ให้รูปที่ 5 ตรงกับเงื่อนไขของปัญหา

ให้เราแทนค่าดีกรีของมุม A เป็น x จากนั้นหน่วยวัดองศาของมุม D คือ x + 50 °

มุม BAD และ ADC เป็นด้านเดียวภายในที่มีเส้นคู่ขนาน AB และ DC และ AD เสี้ยน จากนั้นผลรวมของมุมที่มีชื่อเหล่านี้จะเท่ากับ 180° นั่นคือ
x + x + 50° = 180° หรือ x = 65° ดังนั้น ∠ A = ∠ C = 65°, a ∠ B = ∠ D = 115°

ตัวอย่างที่ 4ด้านข้างของสี่เหลี่ยมด้านขนานมีขนาด 4.5 dm และ 1.2 dm แบ่งครึ่งจากจุดยอดของมุมแหลม แบ่งด้านยาวของสี่เหลี่ยมด้านขนานออกเป็นส่วนใดบ้าง

การตัดสินใจ.ให้รูปที่ 6 ตรงกับเงื่อนไขของปัญหา

AE คือเส้นแบ่งครึ่งของมุมแหลมของสี่เหลี่ยมด้านขนาน ดังนั้น ∠ 1 = ∠ 2

ในบทความนี้ โดยใช้ตัวอย่างการแก้ปัญหา C2 จาก Unified State Examination จะวิเคราะห์วิธีการหาพิกัดโดยใช้วิธีการดังกล่าว จำได้ว่าเส้นจะเบ้ถ้าไม่อยู่ในระนาบเดียวกัน โดยเฉพาะอย่างยิ่ง หากเส้นหนึ่งอยู่ในระนาบ และเส้นที่สองตัดกับระนาบนี้ ณ จุดที่ไม่อยู่บนเส้นแรก เส้นนั้นจะเบี้ยว (ดูรูป)

สำหรับการค้นหา ระยะห่างระหว่างเส้นตัดกันจำเป็น:

1. วาดระนาบผ่านเส้นเอียงเส้นหนึ่งที่ขนานกับเส้นเอียงอีกเส้นหนึ่ง
2. วางเส้นตั้งฉากจากจุดใดก็ได้ของเส้นตรงที่สองไปยังระนาบผลลัพธ์ ความยาวของเส้นตั้งฉากนี้จะเป็นระยะห่างที่ต้องการระหว่างเส้น

ให้เราวิเคราะห์อัลกอริธึมนี้ในรายละเอียดเพิ่มเติมโดยใช้ตัวอย่างการแก้ปัญหา C2 จากการสอบ Unified State ในวิชาคณิตศาสตร์

ระยะห่างระหว่างเส้นในอวกาศ

งาน.ในก้อนเดียว ABCDA 1 บี 1 ค 1 ดี 1 หาระยะห่างระหว่างเส้น BA 1 และ ดีบี 1 .

ข้าว. 1. การวาดภาพสำหรับงาน

การตัดสินใจ.ผ่านจุดกึ่งกลางของเส้นทแยงมุมของลูกบาศก์ ดีบี 1 (จุด อู๋) ลากเส้นขนานกับเส้นตรง อา 1 บี. จุดตัดของเส้นที่กำหนดที่มีขอบ BCและ อา 1 ดี 1 หมายถึง ตามลำดับ นู๋และ เอ็ม. ตรง MNนอนอยู่บนเครื่องบิน MNB 1 และขนานกับเส้นตรง อา 1 บีซึ่งไม่อยู่ในระนาบนี้ ซึ่งหมายความว่าโดยตรง อา 1 บีขนานกับระนาบ MNB 1 บนพื้นฐานของความขนานของเส้นตรงและระนาบ (รูปที่ 2)

ข้าว. 2. ระยะทางที่ต้องการระหว่างเส้นตัดขวางเท่ากับระยะทางจากจุดใดๆ ของเส้นที่เลือกไปยังระนาบที่แสดงไว้

ตอนนี้เรากำลังหาระยะทางจากจุดหนึ่งบนเส้นตรง อา 1 บีขึ้นเครื่องบิน MNBหนึ่ง . ตามคำจำกัดความ ระยะทางนี้จะเป็นระยะห่างที่ต้องการระหว่างเส้นเบ้

ในการหาระยะทางนี้ เราใช้วิธีการพิกัด เราแนะนำระบบพิกัดคาร์ทีเซียนสี่เหลี่ยมเพื่อให้กำเนิดตรงกับจุด B แกน Xถูกนำไปตามขอบ BA, แกน Y- ตามแนวซี่โครง BC, แกน Z- ตามแนวซี่โครง BB 1 (รูปที่ 3).

ข้าว. 3. เราเลือกระบบพิกัดคาร์ทีเซียนรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าดังแสดงในรูป

เราพบสมการของระนาบ MNB 1 ในระบบพิกัดนี้ ในการทำเช่นนี้ ก่อนอื่นเราต้องกำหนดพิกัดของจุดต่างๆ เอ็ม, นู๋และ บี 1:

จากสมการที่ 2 ของระบบ เราได้จากสมการที่สาม และจากนั้น จากสมการแรกที่เราได้มา เราแทนค่าที่ได้รับเป็นสมการทั่วไปของเส้นตรง:

โปรดทราบว่ามิฉะนั้นเครื่องบิน MNB 1 จะผ่านจุดกำเนิด เราหารทั้งสองข้างของสมการนี้ด้วยแล้วเราจะได้:

ระยะทางจากจุดหนึ่งถึงระนาบถูกกำหนดโดยสูตร

โอ้ โอ้ โอ้ โอ้ โอ้ ... มันไม่เล็กราวกับว่าคุณอ่านประโยคให้กับตัวเอง =) อย่างไรก็ตามการผ่อนคลายจะช่วยได้โดยเฉพาะเมื่อฉันซื้ออุปกรณ์เสริมที่เหมาะสมในวันนี้ ดังนั้น ไปต่อกันที่ส่วนแรกกันเลย ฉันหวังว่าในตอนท้ายของบทความ ฉันจะมีอารมณ์ร่าเริงอยู่เสมอ

การจัดเรียงกันของเส้นตรงสองเส้น

กรณีที่ห้องโถงร้องพร้อมกัน สองบรรทัดสามารถ:

1) การแข่งขัน;

2) ขนานกัน: ;

3) หรือตัดกันที่จุดเดียว: .

ความช่วยเหลือสำหรับหุ่น: โปรดจำเครื่องหมายทางคณิตศาสตร์ของทางแยก มันจะเกิดขึ้นบ่อยมาก รายการหมายความว่าเส้นตัดกับเส้นที่จุด

จะกำหนดตำแหน่งสัมพัทธ์ของสองบรรทัดได้อย่างไร?

เริ่มจากกรณีแรก:

สองบรรทัดจะตรงกันก็ต่อเมื่อสัมประสิทธิ์ตามลำดับเป็นสัดส่วนนั่นคือมีจำนวน "แลมบ์ดา" ที่ความเท่าเทียมกัน

ลองพิจารณาเส้นตรงและเขียนสมการสามสมการจากสัมประสิทธิ์ที่สอดคล้องกัน: จากสมการแต่ละสมการจะเป็นไปตามนั้น ดังนั้น เส้นเหล่านี้จึงตรงกัน

แน่นอนถ้าสัมประสิทธิ์ทั้งหมดของสมการ

กรณีที่สองเมื่อเส้นขนานกัน:

เส้นสองเส้นขนานกันก็ต่อเมื่อสัมประสิทธิ์ของพวกมันที่ตัวแปรเป็นสัดส่วน:

ตัวอย่างเช่น พิจารณาเส้นตรงสองเส้น เราตรวจสอบสัดส่วนของสัมประสิทธิ์ที่สอดคล้องกันสำหรับตัวแปร :

อย่างไรก็ตาม เป็นที่ชัดเจนว่า

และกรณีที่สาม เมื่อเส้นตัดกัน:

เส้นสองเส้นตัดกันก็ต่อเมื่อสัมประสิทธิ์ของตัวแปรไม่เป็นสัดส่วนนั่นคือไม่มีค่าของ "แลมบ์ดา" ที่เท่าเทียมกัน

ดังนั้นสำหรับเส้นตรง เราจะสร้างระบบ:

มันตามมาจากสมการแรกที่ , และจากสมการที่สอง: , ดังนั้น, ระบบไม่สอดคล้องกัน(ไม่มีวิธีแก้ปัญหา). ดังนั้นสัมประสิทธิ์ของตัวแปรจึงไม่เป็นสัดส่วน

สรุป: เส้นตัดกัน

ในปัญหาในทางปฏิบัติ สามารถใช้โครงร่างการแก้ปัญหาที่เพิ่งพิจารณาได้ อย่างไรก็ตาม มันคล้ายกับอัลกอริธึมในการตรวจสอบเวกเตอร์สำหรับความสอดคล้อง ซึ่งเราพิจารณาในบทเรียน แนวคิดของการพึ่งพาเวกเตอร์เชิงเส้น (ไม่) พื้นฐานเวกเตอร์. แต่มีแพ็คเกจอารยะมากกว่า:

ตัวอย่างที่ 1

ค้นหาตำแหน่งสัมพัทธ์ของเส้น:

การตัดสินใจจากการศึกษาเวกเตอร์กำกับเส้นตรง:

ก) จากสมการ เราพบเวกเตอร์ทิศทางของเส้น:

ดังนั้นเวกเตอร์ไม่ขนานกันและเส้นตัดกัน

เผื่อว่าฉันจะวางก้อนหินที่มีตัวชี้ที่ทางแยก:

ที่เหลือกระโดดข้ามหินแล้วเดินต่อไปตรงไปยัง Kashchei the Deathless =)

b) ค้นหาเวกเตอร์ทิศทางของเส้น:

เส้นมีเวกเตอร์ทิศทางเดียวกัน ซึ่งหมายความว่าทั้งสองขนานหรือเท่ากัน ที่นี่ไม่จำเป็นต้องใช้ดีเทอร์มีแนนต์

เห็นได้ชัดว่าสัมประสิทธิ์ของสิ่งที่ไม่รู้จักนั้นเป็นสัดส่วน ในขณะที่ .

มาดูกันว่าความเท่าเทียมกันเป็นจริงหรือไม่:

ดังนั้น,

c) ค้นหาเวกเตอร์ทิศทางของเส้น:

มาคำนวณดีเทอร์มีแนนต์ซึ่งประกอบด้วยพิกัดของเวกเตอร์เหล่านี้กัน:

ปัจจัยด้านสัดส่วน "แลมบ์ดา" นั้นง่ายต่อการดูโดยตรงจากอัตราส่วนของเวกเตอร์ทิศทางแนวร่วม อย่างไรก็ตาม ยังสามารถพบได้ผ่านสัมประสิทธิ์ของสมการด้วย:

ทีนี้ลองดูว่าความเท่าเทียมกันเป็นจริงหรือไม่ เงื่อนไขฟรีทั้งสองเป็นศูนย์ ดังนั้น:

ค่าผลลัพธ์เป็นไปตามสมการนี้ (โดยทั่วไปแล้ว ตัวเลขใดๆ ก็เป็นไปตามนั้น)

ดังนั้นเส้นจึงตรงกัน

ตอบ:

ในไม่ช้า คุณจะได้เรียนรู้ (หรือเรียนรู้ไปแล้ว) เพื่อแก้ปัญหาที่พิจารณาด้วยวาจาอย่างแท้จริงภายในเวลาไม่กี่วินาที ในเรื่องนี้ ฉันไม่เห็นเหตุผลที่จะเสนอบางอย่างสำหรับโซลูชันอิสระ เป็นการดีกว่าที่จะวางอิฐที่สำคัญอีกหนึ่งก้อนในรากฐานทางเรขาคณิต:

จะวาดเส้นขนานกับเส้นที่กำหนดได้อย่างไร?

เพื่อความไม่รู้ของงานที่ง่ายที่สุดนี้ Nightingale the Robber ลงโทษอย่างรุนแรง

ตัวอย่าง 2

เส้นตรงถูกกำหนดโดยสมการ เขียนสมการเส้นขนานที่ลากผ่านจุดนั้น

การตัดสินใจ: ระบุบรรทัดที่ไม่รู้จักด้วยตัวอักษร เงื่อนไขบอกอะไรเกี่ยวกับเรื่องนี้? เส้นผ่านจุด และถ้าเส้นขนานกัน ก็เห็นได้ชัดว่าเวกเตอร์กำกับของเส้น "ce" ก็เหมาะสำหรับการสร้างเส้น "te" เช่นกัน

เรานำเวกเตอร์ทิศทางออกจากสมการ:

ตอบ:

เรขาคณิตของตัวอย่างดูเรียบง่าย:

การตรวจสอบเชิงวิเคราะห์ประกอบด้วยขั้นตอนต่อไปนี้:

1) เราตรวจสอบว่าเส้นมีเวกเตอร์ทิศทางเดียวกัน (หากสมการของเส้นไม่ได้ทำให้ง่ายขึ้นอย่างเหมาะสม เวกเตอร์จะเป็นเส้นตรง)

2) ตรวจสอบว่าจุดตรงกับสมการผลลัพธ์หรือไม่

การตรวจสอบเชิงวิเคราะห์ในกรณีส่วนใหญ่นั้นง่ายต่อการดำเนินการด้วยวาจา ดูสมการทั้งสองนี้ แล้วหลายๆ คนจะเข้าใจได้อย่างรวดเร็วว่าเส้นขนานกันอย่างไรโดยไม่ต้องวาด

ตัวอย่างการแก้ปัญหาตัวเองในวันนี้จะเป็นการสร้างสรรค์ เพราะคุณยังต้องแข่งขันกับ Baba Yaga และเธอก็เป็นคนรักปริศนาทุกประเภท

ตัวอย่างที่ 3

เขียนสมการของเส้นที่ลากผ่านจุดขนานกับเส้น if

มีวิธีแก้ที่มีเหตุผลและไม่สมเหตุสมผลมาก วิธีที่สั้นที่สุดคือตอนท้ายบทเรียน

เราทำงานเล็ก ๆ น้อย ๆ กับเส้นขนานและจะกลับมาหาพวกเขาในภายหลัง กรณีของเส้นประจัญบานไม่ค่อยน่าสนใจนัก ลองพิจารณาปัญหาที่คุณทราบดีจากหลักสูตรของโรงเรียน:

จะหาจุดตัดของสองเส้นได้อย่างไร?

ถ้าตรง

จะหาจุดตัดของเส้นได้อย่างไร? แก้ระบบ.

นี่เพื่อคุณ ความหมายทางเรขาคณิตของระบบสมการเชิงเส้นสองสมการที่มีสองไม่ทราบค่าเป็นเส้นตรงสองเส้นที่ตัดกัน (ส่วนใหญ่) บนระนาบ

ตัวอย่างที่ 4

หาจุดตัดของเส้น

การตัดสินใจ: มีสองวิธีในการแก้ปัญหา - แบบกราฟิกและเชิงวิเคราะห์

วิธีแบบกราฟิกคือการวาดเส้นที่กำหนดและค้นหาจุดตัดโดยตรงจากภาพวาด:

แน่นอนว่าวิธีการแบบกราฟิกนั้นไม่เลว แต่มีข้อเสียที่เห็นได้ชัดเจน ไม่ ประเด็นไม่ใช่ว่านักเรียนชั้นประถมศึกษาปีที่ 7 ตัดสินใจด้วยวิธีนี้ ประเด็นคือต้องใช้เวลาในการวาดภาพที่ถูกต้องและแม่นยำ นอกจากนี้ เส้นบางเส้นสร้างได้ไม่ง่ายนัก และจุดตัดเองก็อาจอยู่ที่ไหนสักแห่งในอาณาจักรที่ 30 นอกแผ่นสมุด

ดังนั้นจึงควรค้นหาจุดตัดด้วยวิธีการวิเคราะห์ มาแก้ระบบกัน:

ในการแก้ระบบ ใช้วิธีการบวกระยะของสมการ เพื่อพัฒนาทักษะที่เกี่ยวข้อง เยี่ยมชมบทเรียน จะแก้ระบบสมการได้อย่างไร?

ตอบ:

การตรวจสอบเป็นเรื่องเล็กน้อย - พิกัดของจุดตัดต้องเป็นไปตามสมการแต่ละข้อของระบบ

ตัวอย่างที่ 5

หาจุดตัดของเส้นตรงหากตัดกัน

นี่คือตัวอย่างที่ต้องทำด้วยตัวเอง สะดวกในการแบ่งปัญหาออกเป็นหลายขั้นตอน การวิเคราะห์เงื่อนไขแสดงให้เห็นว่ามีความจำเป็น:
1) เขียนสมการเส้นตรง
2) เขียนสมการของเส้นตรง
3) ค้นหาตำแหน่งสัมพัทธ์ของเส้น
4) ถ้าเส้นตัดกัน ให้หาจุดตัด

การพัฒนาอัลกอริธึมของการกระทำเป็นเรื่องปกติสำหรับปัญหาทางเรขาคณิตหลายอย่าง และฉันจะเน้นเรื่องนี้ซ้ำๆ

วิธีแก้ปัญหาและคำตอบทั้งหมดในตอนท้ายของบทช่วยสอน:

รองเท้าคู่หนึ่งยังไม่สึกเมื่อเรามาถึงส่วนที่สองของบทเรียน:

เส้นตั้งฉาก. ระยะทางจากจุดหนึ่งไปยังอีกเส้นหนึ่งมุมระหว่างเส้น

เริ่มจากงานทั่วไปและสำคัญมาก ในส่วนแรก เราเรียนรู้วิธีสร้างเส้นตรงขนานกับเส้นที่กำหนดและตอนนี้กระท่อมบนขาไก่จะเปลี่ยนเป็น 90 องศา:

วิธีการวาดเส้นตั้งฉากกับเส้นที่กำหนด?

ตัวอย่างที่ 6

เส้นตรงถูกกำหนดโดยสมการ เขียนสมการเส้นตั้งฉากผ่านจุด

การตัดสินใจ: เป็นที่ทราบกันดีอยู่แล้วว่า คงจะดีถ้าหาเวกเตอร์ทิศทางของเส้นตรง เนื่องจากเส้นตั้งฉาก เคล็ดลับจึงง่าย:

จากสมการ เรา "ลบ" เวกเตอร์ตั้งฉาก: ซึ่งจะเป็นเวกเตอร์กำกับของเส้นตรง

เราเขียนสมการของเส้นตรงโดยจุดและเวกเตอร์กำกับ:

ตอบ:

มาแฉร่างเรขาคณิตกัน:

อืม...ฟ้าส้ม ทะเลส้ม อูฐสีส้ม

การตรวจสอบเชิงวิเคราะห์ของโซลูชัน:

1) แยกเวกเตอร์ทิศทางออกจากสมการ

อย่างไรก็ตาม คุณสามารถใช้เวกเตอร์ปกติได้ มันง่ายยิ่งขึ้นไปอีก

2) ตรวจสอบว่าจุดตรงกับสมการผลลัพธ์หรือไม่

การยืนยันอีกครั้งทำได้ง่ายด้วยวาจา

ตัวอย่าง 7

หาจุดตัดของเส้นตั้งฉาก ถ้าทราบสมการ

นี่คือตัวอย่างที่ต้องทำด้วยตัวเอง มีการดำเนินการหลายอย่างในงาน ดังนั้นจึงสะดวกในการจัดเตรียมวิธีแก้ปัญหาทีละจุด

การเดินทางที่น่าตื่นเต้นของเราดำเนินต่อไป:

ระยะทางจากจุดถึงเส้น

ข้างหน้าเราคือทางตรงของแม่น้ำ และหน้าที่ของเราคือไปให้ถึงในวิธีที่สั้นที่สุด ไม่มีสิ่งกีดขวาง และเส้นทางที่เหมาะสมที่สุดคือการเคลื่อนที่ในแนวตั้งฉาก นั่นคือระยะทางจากจุดหนึ่งไปยังอีกเส้นหนึ่งคือความยาวของส่วนตั้งฉาก

ระยะทางในเรขาคณิตมักใช้แทนด้วยอักษรกรีก "ro" ตัวอย่างเช่น: - ระยะทางจากจุด "em" ถึงเส้นตรง "de"

ระยะทางจากจุดถึงเส้น

ตัวอย่างที่ 8

หาระยะทางจากจุดหนึ่งไปยังอีกเส้นหนึ่ง

การตัดสินใจ: สิ่งที่คุณต้องทำคือแทนที่ตัวเลขในสูตรอย่างระมัดระวังและคำนวณ:

ตอบ:

มาวาดรูปกันเถอะ:

พิจารณางานอื่นตามรูปวาดเดียวกัน:

ภารกิจคือการหาพิกัดของจุด ซึ่งสมมาตรกับจุดที่สัมพันธ์กับเส้น

1) หาเส้นที่ตั้งฉากกับเส้นตรง

2) ค้นหาจุดตัดของเส้น:

การกระทำทั้งสองจะกล่าวถึงในรายละเอียดในบทเรียนนี้

3) จุดคือจุดกึ่งกลางของส่วน เราทราบพิกัดของจุดกึ่งกลางและปลายด้านหนึ่ง โดย สูตรพิกัดกลางเซกเมนต์หา .

มันจะไม่ฟุ่มเฟือยที่จะตรวจสอบว่าระยะทางเท่ากับ 2.2 หน่วย

ความยากลำบากที่นี่อาจเกิดขึ้นในการคำนวณ แต่ในหอคอย ไมโครแคลคูเลเตอร์ช่วยได้มาก ช่วยให้คุณนับเศษส่วนธรรมดาได้ ได้แนะนำหลายครั้งแล้วและจะแนะนำอีกครั้ง

จะหาระยะห่างระหว่างเส้นคู่ขนานสองเส้นได้อย่างไร?

ตัวอย่างที่ 9

จงหาระยะห่างระหว่างเส้นคู่ขนานสองเส้น

นี่เป็นอีกตัวอย่างหนึ่งของโซลูชันอิสระ คำแนะนำเล็กน้อย: มีวิธีแก้ปัญหามากมายนับไม่ถ้วน การซักถามในตอนท้ายของบทเรียน แต่ควรลองเดาด้วยตัวคุณเอง ฉันคิดว่าความเฉลียวฉลาดของคุณกระจัดกระจายไปได้ดี

มุมระหว่างสองเส้น

ไม่ว่ามุมไหนก็วงกบ:

หากเส้นตั้งฉาก ก็สามารถนำมุมทั้ง 4 มุมมาเป็นมุมระหว่างพวกมันได้

มุมต่างกันอย่างไร? ปฐมนิเทศ. ประการแรก ทิศทางของ "การเลื่อน" มุมนั้นมีความสำคัญอย่างยิ่ง ประการที่สอง มุมเชิงลบเขียนด้วยเครื่องหมายลบ ตัวอย่างเช่น ถ้า .

ทำไมฉันถึงพูดแบบนี้? ดูเหมือนว่าคุณสามารถผ่านแนวคิดปกติของมุมได้ ความจริงก็คือในสูตรที่เราใช้หามุม ผลลัพธ์เชิงลบสามารถหาได้ง่าย และสิ่งนี้ไม่ควรทำให้คุณแปลกใจ มุมที่มีเครื่องหมายลบไม่ได้แย่ไปกว่านั้น และมีความหมายทางเรขาคณิตที่เฉพาะเจาะจงมาก ในการวาดภาพสำหรับมุมลบ จำเป็นต้องระบุทิศทาง (ตามเข็มนาฬิกา) ด้วยลูกศร

จะหามุมระหว่างสองเส้นได้อย่างไร?มีสองสูตรการทำงาน:

ตัวอย่าง 10

หามุมระหว่างเส้น

การตัดสินใจและ วิธีที่หนึ่ง

พิจารณาเส้นตรงสองเส้นที่กำหนดโดยสมการใน ปริทัศน์:

ถ้าตรง ไม่ตั้งฉาก, แล้ว มุ่งเน้นมุมระหว่างพวกเขาสามารถคำนวณได้โดยใช้สูตร:

มาใส่ใจตัวส่วนกันให้ดี - นี่แหละ ผลิตภัณฑ์สเกลาร์เวกเตอร์ทิศทางของเส้นตรง:

ถ้า จากนั้นตัวส่วนของสูตรจะหายไป และเวกเตอร์จะเป็นมุมฉากและเส้นจะตั้งฉาก นั่นคือเหตุผลที่ทำการจองเกี่ยวกับการไม่ตั้งฉากของเส้นในสูตร

จากที่กล่าวมาข้างต้น โซลูชันนี้ถูกทำให้เป็นทางการโดยสะดวกในสองขั้นตอน:

1) คำนวณผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์กำกับเส้นตรง:
เส้นจึงไม่ตั้งฉาก

2) เราหามุมระหว่างเส้นโดยสูตร:

เมื่อใช้ฟังก์ชันผกผัน จะหามุมได้ง่าย ในกรณีนี้ เราใช้ความแปลกของอาร์คแทนเจนต์ (ดูรูปที่ กราฟและคุณสมบัติของฟังก์ชันเบื้องต้น):

ตอบ:

ในคำตอบ เราระบุค่าที่แน่นอน เช่นเดียวกับค่าโดยประมาณ (ควรเป็นทั้งหน่วยองศาและเรเดียน) ซึ่งคำนวณโดยใช้เครื่องคิดเลข

ลบ ก็ได้ ลบก็ได้ นี่คือภาพประกอบทางเรขาคณิต:

หากคุณต้องการได้มุมบวกจริงๆ คุณต้องสลับเส้นตรง นั่นคือ หาค่าสัมประสิทธิ์จากสมการที่สอง