การหาค่าความจริงของประพจน์ แบบฝึกหัด 2.4 เฉลย

เนื้อหาหลักของบทนี้ประกอบด้วย รายละเอียดบทย่อย ดังนี้

คณิตศาสตร์ ม.4 เทอม 1

3 Videos

intro แนะนำคณิตศาสตร์ พี่ครูปิง

คณิตศาสตร์ ม.4 เทอม 1 : บทเรียนเรื่องสัจนิรันดร์

ติวกลางภาค ม.4 คณิตศาสตร์ เรื่อง ตรรกศาสตร์

ประพจน์

ประพจน์ คือ ประโยคหรือข้อความที่สามารถบอกค่าความจริงว่า เป็นจริงหรือเท็จได้ จะอยู่ในรูปแบบของประโยคบอกเล่าหรือประโยคปฏิเสธก็ได้ มักใช้สัญลักษณ์ p, q, r, s หรือตัวอักษรอื่นๆในการแทนประพจน์

ข้อสังเกต ประโยคที่จะเป็นประพจน์ได้จะต้องไม่มีความกำกวม ต้องสามารถตอบได้ว่าเป็นจริงหรือเท็จ

ตัวอย่างเช่น ประโยคต่อไปนี้เป็นประพจน์หรือไม่

• 1 + 1 = 8 เป็น เพราะตอบได้ว่าประโยคนี้เป็นเท็จ
• กรุงเทพฯเป็นเมืองหลวงของประเทศไทย เป็น เพราะตอบได้ว่าประโยคนี้เป็นจริง
• นั่นคือตัวอะไร ไม่เป็น เพราะเป็นประโยคคำถาม
• x เป็นจำนวนจริง ไม่เป็น เพราะไม่รู้ว่า x คืออะไร

การเชื่อมประพจน์

การเชื่อมประพจน์ มีด้วยกัน 4 แบบ ได้แก่

1. และ (∧) เป็นจริงเพียงกรณีเดียวคือ T ∧ T เป็น T
2. หรือ (∨) เป็นเท็จเพียงกรณีเดียวคือ F ∨ F เป็น F
3. ถ้า…แล้ว (→) เป็นเท็จเพียงกรณีเดียวคือ T → F เป็น F
4. ก็ต่อเมื่อ (↔) ถ้ามีค่าความจริงเหมือนกันจะเป็นจริง ไม่เหมือนกันจะเป็นเท็จ

หรือดังตารางต่อไปนี้

ค่าความจริงของประพจน์

การหาค่าความจริงของประพจน์ โดยที่โจทย์ไม่ได้กำหนดค่าความจริงของประพจน์ย่อยๆมาให้ ต้องพิจารณาค่าความจริงที่อาจจะเกิดขึ้นได้ทั้งหมดจากประพจน์ย่อยๆ วิธีที่นิยมคือการสร้างตารางค่าความจริง

ซึ่งถ้ามีประพจน์ย่อยทั้งหมด n ประพจน์ จะได้ค่าความจริงที่อาจจะเกิดขึ้นได้ 2n กรณี

ตัวอย่าง จงสร้างตารางค่าความจริงทุกกรณีที่เป็นไปได้ของประพจน์ (p∨q)↔p

การสมมูลและนิเสธของประพจน์

นิเสธของประพจน์ คือ ประพจน์ที่มีค่าความจริงตรงกันข้ามกับประพจน์นั้นๆ (จากจริงเป็นเท็จ/จากเท็จเป็นจริง) สามารถเขียนแทนนิเสธของประพจน์ p ได้ด้วย ~p

การสมมูลของประพจน์ การที่ประพจน์ 2 ประพจน์สมมูลกัน ก็ต่อเมื่อประพจน์ทั้ง 2 ประพจน์มีค่าความจริงเหมือนกันทุกรณี สามารถเขียนแทนการสมมูลด้วย “≡”

รูปแบบของประพจน์ที่สมมูลกัน

1. ~(~p) ≡ p
2. p∧q ≡ q∧p
3. p∨q ≡ q∨p
4. p↔q ≡ q↔p
5. p∧(q∧r) ≡ (p∧q)∧r
6. p∨(q∨r) ≡ (p∨q)∨r
7. p↔(q↔r) ≡ (p↔q)↔r
8. p∧(q∨r) ≡ (p∧q)∨(p∧r)
9. p∨(q∧r) ≡ (p∨q)∧(p∨r)
10. p→q ≡ ~p∨q
11. p→q ≡ ~q→~p
12. p↔q ≡ (p→q)∧(q→p)
13. ~(p∧q) ≡ ~p∨~q
14. ~(p∨q) ≡ ~p∧~q
15. ~(p→q) ≡ ~(~p∨q) ≡ p∧~q
16. ~(p↔q) ≡ ~p↔q ≡ p↔~q
17. ~(p↔q) ≡ (p∧~q)∨(q∧~p)

ตัวอย่าง จงตรวจสอบว่าประพจน์ ~p→q สมมูลกับประพจน์ p∨q หรือไม่

วิธีทำ สร้างตารางค่าความจริงได้ 4 กรณี ได้ดังนี้

จากตารางค่าความจริงของประพจน์ ~p→q และ p∨q พบว่ามีค่าความจริงเหมือนกันทุกกรณี ดังนั้น ประพจน์ ~p→q สมมูลกับประพจน์ p∨q หรือ ~p→q ≡ p∨q

สัจนิรันดร์และการอ้างเหตุผล

สัจนิรันดร์ คือ รูปแบบของประพจน์ที่จะมีค่าความจริงเป็นจริงทุกกรณี

วิธีการตรวจสอบการเป็นสัจนิรันดร์

1. สร้างตารางค่าความจริง ให้สร้างตารางค่าความจริง แล้วดูค่าความจริงขั้นสุดท้ายของประพจน์ว่าเป็นจริง (T) ทุกกรณีหรือไม่ ถ้าเป็นจริงทุกกรณีแสดงว่าประพจน์นั้นเป็นสัจนิรันดร์
2. การใช้สมบัติข้อขัดแย้ง โดยสมมติให้ประพจน์นั้นมีค่าความจริงเป็นเท็จ (F) จากนั้นวิเคราะห์ย้อนกลับไปยังประพจน์ย่อยๆ เพื่อดูค่าความจริงของประพจน์ว่าขัดแย้งกันหรือไม่
   1. ถ้าขัดแย้งกันแสดงว่า ไม่มีโอกาสเกิดเท็จได้ ประพจน์นั้นก็เป็นสัจนิรัดร์
   2. ถ้าไม่ขัดแย้งกันแสดงว่า มีโอกาสเกิดเท็จได้ ประพจน์นั้นก็ไม่เป็นสัจนิรัดร์

การอ้างเหตุผล คือ การสรุปว่าสิ่งที่ระบุมานั้นสมเหตุสมผลหรือไม่ เริ่มจากนำข้อความที่กำหมดให้ซึ่งจะมี เหตุ(P) และ ผล(C) โดยนำ “เหตุ” ทั้งหมดมาเชื่อมด้วย “และ (∧)” แล้วนำไปเชื่อมด้วย “ถ้าแล้ว (→)” กับ “ผล” แล้วดูว่าเป็นสัจนิรันดร์หรือไม่ ถ้าเป็นสัจนิรันดร์แปลว่าข้อความนั้นสมเหุสมผล

ตัวอย่าง การอ้างเหตุผลนี้สมเหตุสมผลหรือไม่

• เหตุ
  • p→q
  • ~q
• ผล
  • ~p

วิธีทำ นำเหตุทั้งหมดมาเชื่อมกันด้วย ∧ แล้วเชื่อมกับผลด้วย → จะได้ [(p→q)∧~q]→~p แล้วตรวจสอบความเป็นสัจนิรันดร์โดยการสร้างตารางค่าความจริงดังนี้

จากตารางค่าความจริงพบว่าประพจน์ [(p→q)∧~q]→~p เป็นสัจนิรันดร์ แสดงว่า การอ้างเหตุผลนี้สมเหตุสมผล

ตัวบ่งปริมาณและประโยคเปิด

ประโยคเปิด คือ ประโยคบอกเล่า หรือ ประโยคปฏิเสธ ที่มีตัวแปรแล้วเมื่อแทนตัวแปรลงไปจะได้เป็นประพจน์ เช่น

• a เป็นจำนวนคี่
• คนสวมเสื้อสีแดง

ตัวบ่งปริมาณ คือ ข้อความที่บอกเงื่อนไขของค่าตัวแปรที่จะนำไปแทน เพื่อให้ประโยคเปิด กลายเป็นประพจน์ มี 2 แบบ คือ

• ∀x หมายถึง x ทุกตัวที่อยู่ในเอกภพสัมพัทธ์
• ∃x หมายถึง x บางตัวที่อยู่ในเอกภพสัมพัทธ์

คุยกันท้ายบท

แบบฝึกหัด

1. กำหนดให้ p, q เป็นประพจน์ที่มีค่าความจริงเป็นจริง r, s เป็นประพจน์ที่มีค่าความจริง เป็นเท็จ จงหาค่าความจริงของประพจน์ที่กำหนดให้ต่อไปนี้

• [(p↔r)∧~q]→(~p∨~s)

เฉลย

2. การอ้างเหตุผลนี้สมเหตุสมผลหรือไม่

• เหตุ
  • ถ้าวิชัยขยัน แล้ววิชัยสอบได้ที่ 1
  • วิชัยสอบได้ที่ 1
• ผล
  • วิชัยขยัน

เฉลย

เป็นยังไงกันบ้างครับกับเนื้อหาและแบบฝึกหัดของเรื่อง “ตรรกศาสตร์” คงจะไม่ยากเกินไปใช่ไหมครับ รวมไปถึงตอนนี้น้องๆคงจะเห็นได้ว่าวิชาคณิตศาสตร์ ม.ปลาย มีความแตกต่างกันอย่างไรกับตอนช่วง ม.ต้น ซึ่งวิชาคณิตศาสตร์ ม.4 เทอม 1 จะเป็นช่วงของการปูพื้นฐาน และปรับความพร้อมให้กับน้องๆในการเรียนวิชาคณิตศาสตร์ ม.ปลาย ไปทั้งตลอดระดับชั้น และอย่างที่พี่แชร์และพี่ปิงได้เกรินไว้ว่าเรื่อง “ตรรกศาสตร์” นี้เองก็จะเป็นพื้นฐานในการต่อยอดไปยังเนื้อหาอื่นๆ ซึ่งจะมีความซับซ้อนเพิ่มขึ้นไปอีก รวมไปถึงยังสามารถพบเห็นในได้ในการเรียนระดับมหาวิทยาลัยในบางคณะ เช่น คณะคณิตศาสตร์ประยุกต์ รวมไปถึงคณะวิทยาศาสตร์บางสาขาอีกด้วย ดังนั้นพี่จึงอยากให้น้องๆทุกคนควรให้ความสำคัญกับการเรียนเพื่อความเข้าใจสูงสุดในเนื้อหาของบทเรียนต่างๆ พร้อมกับฝึกทำโจทย์บ่อยๆ

และถ้าน้องๆคนไหนอยากได้เนื้อหาที่ละเอียดกว่านี้ รวมไปถึงแบบฝึกหัดที่เข้มข้นกว่านี้ พี่แชร์และพี่ปิงขอแนะนำคอร์สวิชา “คณิตศาสตร์ ม.4 เทอม 1” จากทาง Panya Society ที่มีการปูพื้นฐานตั้งแต่ง่ายไปจนถึงระดับยาก เน้นความเข้าใจ ไม่เน้นการท่องจำ พร้อมทั้งแบบฝึกหัด รวมไปถึงตัวอย่างข้อสอบจากข้อสอบจริงในการสอบเข้าระดับมหาวิทยาลัยไม่ว่าจะเป็นข้อสอบคณิตศาสตร์ 9 วิชาสามัญ หรือ PAT1 ทำให้คอร์สนี้เหมาะกับน้องๆ ทุกคนที่อยู่ชั้น ม.4 ที่โรงเรียนใช้หลักสูตรใหม่ (2560) ที่เบื่อกับการเรียนคณิตฯแบบท่องจำ แต่ดันทำโจทย์ไม่ได้ หรือไปเรียนพิเศษคณิตศาสตร์จากที่อื่นมาแล้วก็ยังไม่เข้าใจ ด้วยการสอนคณิตศาสตร์อย่างบูรณาการ พี่ๆทั้งสองคนรับรองได้เลยว่าคอร์สจากทาง Panya Society นี้จะแตกต่างกับที่เรียนพิเศษคณิตศาสตร์ที่อื่นๆ อย่างแน่นอน

สุดท้ายนี้พี่แชร์และพี่ปิงหวังว่า น้องๆจะสนุกกับการเรียนคณิตศาสตร์ ม.4 เทอม 1 รวมไปถึงวิชาคณิตศาสตร์ ม.ปลายไปตลอดทั้งระดับชั้น และขอให้น้องๆประสบความสำเร็จในการเรียนเทอมนี้ ได้เกรดดังหวัง คะแนนปังทุกคนเลยครับ แล้วกันใหม่ในสรุปเนื้อหาเรื่อง “จำนวนจริง” นะครับ 🙂

สุปิติ บูรณวัฒนาโชค

• ปัจจุบันทำงานในบริษัท Start-up ด้านเทคโนโลยีหลายแห่ง
• อดีตตัวแทนนักเรียนไทยไปแข่งขันฟิสิกส์โอลิมปิกระหว่างประเทศ
• ได้รับทุนธนาคารแห่งประเทศไทย ไปศึกษาต่อระดับปริญญาตรีและโท คณะ Electrical and Computer Engineering (วิศวกรรมไฟฟ้าและคอมพิวเตอร์) ที่ Carnegie Mellon University ประเทศสหรัฐอเมริกา โดยจบทั้งสองปริญญาในเวลา 4 ปี
• เคยทำงานที่บริษัท Oracle สหรัฐอเมริกา ซึ่งเป็นบริษัทซอฟต์แวร์ระดับ Top 5 ของโลก
• ผู้ร่วมก่อตั้งเว็บไซต์เด็กดีดอทคอม

ทำความรู้จัก พี่แชร์ (สุปิติ บูรณวัฒนาโชค)

ดร.อธิปัตย์ ธำรงธัญลักษณ์

• อาจารย์ภาควิชาคณิตศาสตร์และวิทยาการคอมพิวเตอร์ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
• ได้รับทุนสมเด็จพระนางเจ้าสิริกิติ์ พระบรมราชินีนาถ ไปศึกษาระดับปริญญาเอก ที่ University of California, Los Angeles ทางด้านคณิตศาสตร์