ขนาดของแผนที่เป็นอัตราส่วนของระยะทางบนแผนที่กับระยะทางที่สอดคล้องกันบนพื้นดิน แนวคิดนี้เรียบง่ายมีความซับซ้อนโดยความโค้งของโลกพื้นผิว 's ซึ่งกองกำลังขนาดแตกต่างกันไปทั่วแผนที่ เนื่องจากความผันแปรนี้ แนวคิดเรื่องมาตราส่วนจึงมีความหมายในสองวิธีที่แตกต่างกัน
สารบัญ Show
- การเป็นตัวแทนของมาตราส่วน
- มาตราส่วนแบบแท่งเทียบกับมาตราส่วนศัพท์
- ขนาดใหญ่ ขนาดกลาง ขนาดเล็ก
- รูปแบบมาตราส่วน
- เศษส่วนตัวแทน (RF) หรือมาตราส่วนหลัก
- มาตราส่วนจุดสำหรับการฉายภาพทรงกระบอกปกติของทรงกลม
- สามตัวอย่างของการฉายภาพทรงกระบอกปกติ
- ซีแคนต์หรือแก้ไข ประมาณการ
- ภาคผนวกทางคณิตศาสตร์
- แผนที่ที่มีมาตราส่วน 1 50 000 เป็นแผนที่มาตราส่วนใด
- มาตราส่วนในแผนที่ที่แสดงเป็นตัวเลข 1: 500,000 จัดเป็นมาตราส่วนชนิดใด
- มาตราส่วน ๑ : ๑๕๐,๐๐๐ บนแผนที่ หมายความว่าอย่างไร
- มาตราส่วนของแผนที่หมายถึงอะไร
มาตราส่วนแบบกราฟิกหรือแบบแท่ง แผนที่มักจะให้มาตราส่วนเป็นตัวเลขด้วย (เช่น "1:50,000" หมายความว่า 1 ซม. บนแผนที่แสดงถึงพื้นที่จริง 50,000 ซม. ซึ่งก็คือ 500 เมตร)
มาตราส่วนแท่งที่มีมาตราส่วนเล็กน้อย แสดงเป็นทั้ง "1 ซม. = 6 กม." และ "1:600 000" (เทียบเท่า เพราะ 6 กม. = 600,000 ซม.)
วิธีแรกคืออัตราส่วนของขนาดของโลกที่สร้างต่อขนาดของโลก ลูกโลกกำเนิดเป็นแบบจำลองแนวคิดที่โลกกำลังหดตัวและแผนที่ถูกฉายออกมา อัตราส่วนของขนาดโลกต่อขนาดของโลกที่สร้างเรียกว่ามาตราส่วนเล็กน้อย (= มาตราส่วนหลัก = เศษส่วนตัวแทน ) แผนที่หลายแห่งระบุมาตราส่วนที่ระบุและอาจแสดงมาตราส่วนแบบแท่ง (บางครั้งเรียกว่า 'มาตราส่วน') เพื่อแสดงถึงมาตราส่วน
แนวคิดที่แตกต่างกันประการที่สองของมาตราส่วนนำไปใช้กับความแปรผันของมาตราส่วนทั่วทั้งแผนที่ เป็นอัตราส่วนของมาตราส่วนของจุดที่จับคู่กับมาตราส่วนเล็กน้อย ในกรณีนี้ 'มาตราส่วน' หมายถึงตัวประกอบมาตราส่วน (= มาตราส่วนจุด = มาตราส่วนเฉพาะ )
หากพื้นที่ของแผนที่มีขนาดเล็กพอที่จะมองข้ามความโค้งของโลก เช่น ในผังเมือง ค่าเดียวก็สามารถใช้เป็นมาตราส่วนได้โดยไม่ทำให้เกิดข้อผิดพลาดในการวัด ในแผนที่ที่ครอบคลุมพื้นที่ขนาดใหญ่หรือทั้งโลก มาตราส่วนของแผนที่อาจมีประโยชน์น้อยกว่าหรือไร้ประโยชน์แม้ในการวัดระยะทาง การฉายภาพแผนที่มีความสำคัญอย่างยิ่งในการทำความเข้าใจว่ามาตราส่วนแตกต่างกันอย่างไรทั่วทั้งแผนที่ [1] [2]เมื่อมาตราส่วนแตกต่างกันอย่างเห็นได้ชัด สามารถนำมาพิจารณาเป็นปัจจัยมาตราส่วน ตัวบ่งชี้ของ Tissotมักใช้เพื่อแสดงให้เห็นการเปลี่ยนแปลงของมาตราส่วนจุดบนแผนที่
รากฐานสำหรับการปรับขนาดแผนที่เชิงปริมาณย้อนกลับไปในสมัยโบราณของจีนพร้อมหลักฐานที่เป็นข้อความว่าศตวรรษที่สองก่อนคริสต์ศักราชเข้าใจแนวคิดเรื่องการปรับขนาดแผนที่ สำรวจจีนโบราณและ cartographers มีทรัพยากรเพียงพอทางเทคนิคที่ใช้ในการผลิตแผนที่เช่นแท่งนับ , ช่างไม้ตาราง 's, เส้นตรง , เข็มทิศสำหรับการวาดภาพวงกลมและเห็นหลอดสำหรับการวัดความโน้มเอียง กรอบอ้างอิงที่จำลองระบบพิกัดตั้งไข่เพื่อระบุสถานที่นั้นถูกบอกใบ้โดยนักดาราศาสตร์จีนโบราณที่แบ่งท้องฟ้าออกเป็นส่วนต่างๆ หรือบ้านพักบนดวงจันทร์ [3]
นักทำแผนที่และนักภูมิศาสตร์ชาวจีนPei Xiuแห่งยุคสามก๊กได้สร้างชุดแผนที่พื้นที่ขนาดใหญ่ที่มีขนาด เขาสร้างชุดของหลักการที่เน้นถึงความสำคัญของการปรับขนาดที่สอดคล้องกัน การวัดทิศทาง และการปรับการวัดที่ดินในภูมิประเทศที่กำลังทำแผนที่ [3]
การเป็นตัวแทนของมาตราส่วน
มาตราส่วนแผนที่อาจแสดงเป็นคำ (มาตราส่วนศัพท์) เป็นอัตราส่วน หรือเป็นเศษส่วน ตัวอย่างคือ:
'หนึ่งเซนติเมตรถึงหนึ่งร้อยเมตร' หรือ 1:10,000 หรือ 1/10,000'หนึ่งนิ้วถึงหนึ่งไมล์' หรือ 1:63,360 หรือ 1/63,360'หนึ่งเซนติเมตรถึงหนึ่งพันกิโลเมตร' หรือ 1:100,000,000 หรือ 1/100,000,000 (อัตราส่วนมักจะย่อเป็น 1:100M)มาตราส่วนแบบแท่งเทียบกับมาตราส่วนศัพท์
นอกเหนือจากแผนที่ด้านบนแล้ว หลายแผนที่ยังมีสเกลบาร์ (กราฟิก) หนึ่ง แท่งขึ้นไป ตัวอย่างเช่น แผนที่อังกฤษสมัยใหม่บางแผนที่มีมาตราส่วนสามแท่ง แต่ละแผนที่สำหรับกิโลเมตร ไมล์ และไมล์ทะเล
มาตราส่วนคำศัพท์ในภาษาที่ผู้ใช้รู้จักอาจมองเห็นได้ง่ายกว่าอัตราส่วน: หากมาตราส่วนเป็นนิ้วถึงสองไมล์และผู้ใช้แผนที่สามารถเห็นสองหมู่บ้านที่อยู่ห่างกันประมาณสองนิ้วบนแผนที่ ก็เป็นเรื่องง่าย เพื่อหาว่าหมู่บ้านต่างๆ อยู่ห่างกันประมาณสี่ไมล์บนพื้นดิน
ศัพท์ขนาดอาจทำให้เกิดปัญหาถ้ามันแสดงในภาษาที่ผู้ใช้ไม่เข้าใจหรือในหน่วยล้าสมัยหรือป่วยกำหนด ตัวอย่างเช่นผู้สูงอายุจำนวนมากในประเทศที่หน่วยของจักรวรรดิเคยสอนในโรงเรียนจะเข้าใจมาตราส่วนตั้งแต่หนึ่งนิ้วถึงเฟอร์ลอง (1:7920) แต่สเกลของหนึ่งpouceต่อหนึ่งลีกอาจอยู่ที่ประมาณ 1:144,000 ขึ้นอยู่กับตัวเลือกของนักทำแผนที่สำหรับคำจำกัดความที่เป็นไปได้มากมายสำหรับลีก และผู้ใช้สมัยใหม่ส่วนน้อยเท่านั้นที่จะคุ้นเคยกับยูนิตที่ใช้
ขนาดใหญ่ ขนาดกลาง ขนาดเล็ก
ตรงกันข้ามกับอวกาศขนาดแผนที่จัดเป็นขนาดเล็กหรือขนาดใหญ่หรือบางครั้งขนาดกลาง ขนาดเล็กหมายถึงแผนที่โลกหรือแผนที่ของภูมิภาคขนาดใหญ่ เช่น ทวีปหรือประเทศขนาดใหญ่ กล่าวอีกนัยหนึ่งคือแสดงพื้นที่ขนาดใหญ่บนพื้นที่ขนาดเล็ก เรียกว่าสเกลเล็กเพราะเศษส่วนตัวแทนค่อนข้างเล็ก
แผนที่ขนาดใหญ่จะแสดงพื้นที่ขนาดเล็กในรายละเอียดมากขึ้น เช่น แผนที่ของเทศมณฑลหรือแผนผังเมือง แผนที่ดังกล่าวเรียกว่าขนาดใหญ่เนื่องจากเศษส่วนตัวแทนมีขนาดค่อนข้างใหญ่ ตัวอย่างเช่น ผังเมือง ซึ่งเป็นแผนที่ขนาดใหญ่ อาจมีมาตราส่วน 1:10,000 ในขณะที่แผนที่โลก ซึ่งเป็นแผนที่ขนาดเล็ก อาจมีมาตราส่วน 1:100,000,000
ตารางต่อไปนี้อธิบายช่วงทั่วไปสำหรับเครื่องชั่งเหล่านี้ แต่ไม่ควรถือว่าเชื่อถือได้เนื่องจากไม่มีมาตรฐาน:
การจำแนกประเภทพิสัยตัวอย่างขนาดใหญ่1:0 – 1:600,0001:0.00001 สำหรับแผนที่ของไวรัส 1:5,000 สำหรับเดินแผนที่เมืองขนาดกลาง1:600,000 – 1:2,000,000แผนที่ของประเทศขนาดเล็ก1:2,000,000 – 1:∞1:50,000,000 สำหรับแผนที่โลก 1:10 21สำหรับแผนที่กาแล็กซี่คำศัพท์บางครั้งใช้ในความหมายที่แน่นอนของตาราง แต่บางครั้งใช้ในความหมายที่สัมพันธ์กัน ตัวอย่างเช่น เครื่องอ่านแผนที่ที่มีงานอ้างถึงแผนที่ขนาดใหญ่เท่านั้น (ตามตารางด้านบน) อาจอ้างถึงแผนที่ที่ 1:500,000 ว่าเป็นแผนที่ขนาดเล็ก
ในภาษาอังกฤษ คำว่าlarge-scaleมักใช้เพื่อหมายถึง "กว้างขวาง" อย่างไรก็ตาม ตามที่ได้อธิบายไว้ข้างต้น นักทำแผนที่ใช้คำว่า "ขนาดใหญ่" เพื่ออ้างถึงแผนที่ที่กว้างน้อยกว่าซึ่งแสดงพื้นที่ที่เล็กกว่า แผนที่ที่แสดงพื้นที่กว้างขวางเป็นแผนที่ "ขนาดเล็ก" นี่อาจเป็นสาเหตุของความสับสน
รูปแบบมาตราส่วน
การทำแผนที่พื้นที่ขนาดใหญ่ทำให้เกิดการบิดเบือนที่เห็นได้ชัดเจน เพราะมันทำให้พื้นผิวโค้งของโลกราบเรียบอย่างมีนัยสำคัญ วิธีการบิดเบือนได้รับการกระจายขึ้นอยู่กับการฉายภาพแผนที่ มาตราส่วนแตกต่างกันไปตามแผนที่และมาตราส่วนแผนที่ที่ระบุเป็นเพียงการประมาณเท่านั้น นี้จะกล่าวถึงในรายละเอียดด้านล่าง
บริเวณที่โลกสามารถถือได้ว่าแบนนั้นขึ้นอยู่กับความแม่นยำของการวัดแบบสำรวจ หากวัดได้เพียงเมตรที่ใกล้ที่สุดความโค้งของโลกจะไม่สามารถตรวจพบได้ในระยะทางเมริเดียนประมาณ 100 กิโลเมตร (62 ไมล์) และเหนือแนวตะวันออก-ตะวันตกประมาณ 80 กม. (ที่ละติจูด 45 องศา) หากสำรวจให้ใกล้ที่สุด 1 มิลลิเมตร (0.039 นิ้ว) แล้ว จะตรวจไม่พบความโค้งในระยะทางเมริเดียนประมาณ 10 กม. และเหนือแนวตะวันออก-ตะวันตกประมาณ 8 กม. [4]ดังนั้น แผนผังของนครนิวยอร์กที่มีความแม่นยำถึงหนึ่งเมตรหรือแผนผังของอาคารที่มีความแม่นยำถึงหนึ่งมิลลิเมตรจะเป็นไปตามเงื่อนไขข้างต้นสำหรับการละเลยความโค้ง พวกมันสามารถรักษาได้โดยการสำรวจระนาบและทำแผนที่โดยแบบวาดมาตราส่วน ซึ่งจุดสองจุดที่ระยะห่างเท่ากันบนแบบวาดนั้นอยู่ที่ระยะเท่ากันบนพื้น ระยะทางภาคพื้นดินที่แท้จริงคำนวณโดยการวัดระยะทางบนแผนที่แล้วคูณด้วยผกผันของเศษส่วนมาตราส่วน หรือเทียบเท่ากัน เพียงแค่ใช้ตัวแบ่งเพื่อถ่ายโอนการแยกระหว่างจุดต่างๆ บนแผนที่ไปยังมาตราส่วนแบบแท่งบนแผนที่
ความแปรผันของความสูงจากระดับพื้นดินลงไปที่พื้นผิวของทรงกลมหรือทรงรี จะเปลี่ยนมาตราส่วนของการวัดระยะทางด้วยเช่นกัน [5]
ตามที่พิสูจน์โดยTheorema EgregiumของGaussทรงกลม (หรือทรงรี) ไม่สามารถฉายบนระนาบได้โดยไม่มีการบิดเบือน โดยทั่วไปจะเห็นได้จากความเป็นไปไม่ได้ในการทำให้เปลือกส้มเรียบลงบนพื้นผิวเรียบโดยไม่ฉีกขาดและทำให้เสียรูป การเป็นตัวแทนจริงเฉพาะของทรงกลมในระดับคงที่เป็นทรงกลมอื่น ๆ เช่นโลก
ด้วยขนาดลูกโลกที่ใช้งานได้จริงอย่างจำกัด เราจึงต้องใช้แผนที่สำหรับการทำแผนที่โดยละเอียด แผนที่ต้องมีการฉายภาพ การฉายภาพแสดงถึงการบิดเบือน: การแยกอย่างต่อเนื่องบนแผนที่ไม่สอดคล้องกับการแยกอย่างต่อเนื่องบนพื้นดิน แม้ว่าแผนที่อาจแสดงมาตราส่วนกราฟแท่ง แต่ต้องใช้มาตราส่วนด้วยความเข้าใจว่าจะแม่นยำเพียงบางบรรทัดของแผนที่ (จะมีการอธิบายเพิ่มเติมในตัวอย่างในส่วนต่อไปนี้)
ให้Pเป็นจุดละติจูดφ{\displaystyle \varphi } และลองจิจูด λ{\ displaystyle \ lambda}บนทรงกลม (หรือทรงรี ). ให้ Q เป็นจุดใกล้เคียงและให้α{\displaystyle \alpha }เป็นมุมระหว่างองค์ประกอบ PQ และเส้นเมริเดียนที่ P: มุมนี้คือมุมราบขององค์ประกอบ PQ ให้ P' และ Q' เป็นจุดที่สอดคล้องกันในการฉายภาพ มุมระหว่างทิศทาง P'Q' กับการฉายของเส้นเมริเดียนคือแบริ่ง β{\displaystyle \beta }. โดยทั่วไปα≠β{\displaystyle \alpha \neq \beta }. ความคิดเห็น: ความแตกต่างที่ชัดเจนระหว่างมุมราบ (บนพื้นผิวโลก) และทิศทาง (บนแผนที่) ไม่ได้ถูกสังเกตอย่างทั่วถึง นักเขียนหลายคนใช้คำศัพท์เกือบจะสลับกันได้
คำที่เกี่ยวข้อง: ขนาดจุดที่ P คืออัตราส่วนของทั้งสองระยะทาง P'Q และ PQ ในขีด จำกัด ที่ Q แนวทางพีเราเขียนนี้เป็น
μ(λ,φ,α)=ลิมคิว→พีพี′คิว′พีคิว,{\displaystyle \mu (\lambda ,\,\varphi ,\,\alpha )=\lim _{Q\to P}{\frac {P'Q'}{PQ}},}โดยที่สัญกรณ์ระบุว่ามาตราส่วนจุดเป็นหน้าที่ของตำแหน่งของ P และทิศทางขององค์ประกอบ PQ ด้วย
คำจำกัดความ:ถ้า P และ Q อยู่บนเส้นเมอริเดียนเดียวกัน(α=0){\displaystyle (\alpha =0)}, มาตราส่วนเมริเดียนแสดงโดยห่า(λ,φ){\displaystyle h(\lambda ,\,\varphi )} .
คำจำกัดความ:ถ้า P และ Q อยู่บนเส้นขนานเดียวกัน(α=พาย/2){\displaystyle (\alpha =\pi/2)}, มาตราส่วนขนานแสดงโดยk(λ,φ){\displaystyle k(\lambda ,\,\varphi )}.
คำจำกัดความ:ถ้ามาตราส่วนจุดขึ้นอยู่กับตำแหน่งเท่านั้น ไม่ใช่ทิศทาง เราบอกว่ามันเป็นไอโซโทรปิกและกำหนดค่าของมันในทิศทางใดๆ ด้วยตัวประกอบมาตราส่วนคู่ขนานตามอัตภาพk(λ,φ){\displaystyle k(\lambda ,\varphi )}.
คำจำกัดความ:การฉายภาพแผนที่จะเป็นไปตามรูปแบบถ้ามุมระหว่างเส้นคู่หนึ่งตัดกันที่จุด P เท่ากับมุมระหว่างเส้นที่ฉายที่จุด P ' สำหรับเส้นคู่ทั้งหมดที่ตัดกันที่จุด P แผนที่ Conformal มีตัวประกอบมาตราส่วนไอโซโทรปิก ในทางกลับกัน สเกลแฟกเตอร์แบบไอโซโทรปิกทั่วทั้งแผนที่บ่งบอกถึงการฉายภาพตามรูปแบบ
Isotropy of Scale บอกเป็นนัยว่าองค์ประกอบขนาดเล็กถูกยืดออกเท่า ๆ กันในทุกทิศทาง นั่นคือรูปร่างขององค์ประกอบขนาดเล็กจะถูกรักษาไว้ นี่คือคุณสมบัติของorthomorphism (จากภาษากรีก 'รูปร่างที่ถูกต้อง') คุณสมบัติ 'เล็ก' หมายความว่าในความแม่นยำในการวัดที่กำหนด จะไม่สามารถตรวจพบการเปลี่ยนแปลงในตัวประกอบมาตราส่วนเหนือองค์ประกอบ เนื่องจากการคาดคะเนตามรูปแบบมีสเกลแฟกเตอร์แบบไอโซโทรปิก พวกมันจึงถูกเรียกว่าการคาดคะเนออร์โธมอร์ฟิค ยกตัวอย่างเช่นการฉาย Mercator เป็นมาตราส่วนตั้งแต่มันถูกสร้างขึ้นมาเพื่อรักษามุมและปัจจัยระดับของมันคือไอโซโทปการทำงานของเส้นรุ้งเพียง: Mercator ที่จะรักษารูปร่างขนาดเล็กในภูมิภาค
ความหมาย:ในการฉายมาตราส่วนที่มีขนาด isotropic จุดซึ่งมีค่าระดับเดียวกันอาจจะเข้าร่วมในรูปแบบสาย isoscale สิ่งเหล่านี้ไม่ได้ถูกวางแผนไว้บนแผนที่สำหรับผู้ใช้ปลายทาง แต่มีคุณลักษณะในข้อความมาตรฐานหลายฉบับ (ดู สไนเดอร์[1]หน้า 203–206.)
เศษส่วนตัวแทน (RF) หรือมาตราส่วนหลัก
มีอนุสัญญาสองแบบที่ใช้ในการกำหนดสมการของการฉายภาพใดๆ ตัวอย่างเช่น โครงรูปทรงกระบอกทรงรีอาจเขียนเป็น
นักเขียนแผนที่: x=λ{\displaystyle x=a\แลมบ์ดา } y=φ{\displaystyle y=a\varphi }นักคณิตศาสตร์: x=λ{\displaystyle x=\lambda } y=φ{\displaystyle y=\varphi }ในที่นี้ เราจะนำอนุสัญญาฉบับแรกมาใช้ (ตามการใช้งานในแบบสำรวจโดยสไนเดอร์) เห็นได้ชัดว่าสมการการฉายภาพด้านบนกำหนดตำแหน่งบนทรงกระบอกขนาดใหญ่ที่พันรอบโลกแล้วคลี่ออก เราบอกว่าพิกัดเหล่านี้กำหนดแผนที่การฉายภาพซึ่งต้องแยกแยะตามหลักเหตุผลจากแผนที่ที่พิมพ์ (หรือดู) จริง หากคำจำกัดความของมาตราส่วนจุดในส่วนก่อนหน้านั้นอยู่ในเงื่อนไขของแผนที่การฉาย เราสามารถคาดได้ว่าปัจจัยมาตราส่วนจะใกล้เคียงกับความสามัคคี สำหรับการฉายภาพทรงกระบอกแทนเจนต์ปกติ มาตราส่วนตามแนวเส้นศูนย์สูตรคือ k=1 และโดยทั่วไปแล้ว มาตราส่วนจะเปลี่ยนไปเมื่อเราเคลื่อนตัวออกจากเส้นศูนย์สูตร การวิเคราะห์มาตราส่วนบนแผนที่การฉายภาพเป็นการตรวจสอบการเปลี่ยนแปลงของ k ที่อยู่ห่างจากมูลค่าที่แท้จริงของความสามัคคี
แผนที่ที่พิมพ์จริงสร้างจากแผนที่ฉายโดยมาตราส่วนคงที่ซึ่งแสดงด้วยอัตราส่วน เช่น 1:100M (สำหรับแผนที่โลกทั้งใบ) หรือ 1:10000 (สำหรับเช่นผังเมือง) เพื่อหลีกเลี่ยงความสับสนในการใช้คำว่า 'มาตราส่วน' เศษส่วนคงที่นี้เรียกว่าเศษส่วนตัวแทน (RF) ของแผนที่ที่พิมพ์ออกมา และจะต้องระบุด้วยอัตราส่วนที่พิมพ์บนแผนที่ พิกัดแผนที่ที่พิมพ์จริงสำหรับการฉายภาพทรงกระบอกรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าคือ
พิมพ์แผนที่: x=(RF)λ{\displaystyle x=(RF)a\lambda } y=(RF)φ{\displaystyle y=(RF)a\varphi }ข้อตกลงนี้ช่วยให้เห็นความแตกต่างที่ชัดเจนของการปรับขนาดการฉายภาพที่แท้จริงและการปรับขนาดการลดลง
จากจุดนี้ เราจะเพิกเฉย RF และทำงานกับแผนที่การฉาย
การฉายภาพ Winkel tripel กับตัว บ่งชี้การเสียรูปของ Tissot
พิจารณาวงกลมเล็กๆ บนพื้นผิวโลกที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุด P ที่ละติจูด φ{\displaystyle \varphi } และลองจิจูด λ{\ displaystyle \ lambda}. เนื่องจากมาตราส่วนจุดแตกต่างกันไปตามตำแหน่งและทิศทาง การฉายภาพของวงกลมบนเส้นโครงจะบิดเบี้ยว Tissotพิสูจน์ว่าตราบใดที่การบิดเบือนไม่มากเกินไป วงกลมจะกลายเป็นวงรีบนการฉายภาพ โดยทั่วไป มิติ รูปร่าง และการวางแนวของวงรีจะเปลี่ยนไปตามการฉายภาพ การวางวงรีความบิดเบี้ยวเหล่านี้ทับบนการฉายแผนที่บ่งบอกถึงวิธีการที่มาตราส่วนจุดเปลี่ยนแปลงไปบนแผนที่ วงรีบิดเบือนเป็นที่รู้จักกันindicatrix Tissot ของ ตัวอย่างที่แสดงที่นี่เป็นTripel ฉาย Winkelประมาณการมาตรฐานสำหรับแผนที่โลกที่ทำโดยสมาคมภูมิศาสตร์แห่งชาติ ความผิดเพี้ยนต่ำสุดอยู่ที่เส้นเมริเดียนกลางที่ละติจูด 30 องศา (เหนือและใต้) (ตัวอย่างอื่นๆ[6] [7] ).
มาตราส่วนจุดสำหรับการฉายภาพทรงกระบอกปกติของทรงกลม
กุญแจสู่ความเข้าใจเชิงปริมาณของมาตราส่วนคือการพิจารณาองค์ประกอบเล็ก ๆ บนทรงกลม รูปแสดงจุด P ที่ละติจูดφ{\displaystyle \varphi } และลองจิจูด λ{\ displaystyle \ lambda}บนทรงกลม จุด Q อยู่ที่ละติจูดφ+δφ{\displaystyle \varphi +\delta \varphi } และลองจิจูด λ+δλ{\displaystyle \lambda +\delta \lambda }. เส้น PK และ MQ เป็นส่วนโค้งของเส้นเมอริเดียนของความยาวδφ{\displaystyle a\,\delta \varphi } ที่ไหน {\displaystyle a} คือรัศมีของทรงกลมและ φ{\displaystyle \varphi }อยู่ในหน่วยเรเดียน เส้น PM และ KQ เป็นส่วนโค้งของวงกลมยาวขนานกัน(cosφ)δλ{\displaystyle (a\cos \varphi )\delta \lambda } ด้วยλ{\ displaystyle \ lambda}ในการวัดเรเดียน ในการหาสมบัติจุดของการฉายที่ P ก็เพียงพอแล้วที่จะใช้องค์ประกอบ PMQK ที่เล็กที่สุดของพื้นผิว: ในขอบเขตของ Q ที่เข้าใกล้ P องค์ประกอบดังกล่าวมีแนวโน้มที่จะมีรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าระนาบขนาดเล็ก
องค์ประกอบเล็ก ๆ บนทรงกลมและการฉายภาพทรงกระบอกปกติ
การคาดคะเนรูปทรงกระบอกปกติของทรงกลมมี x=λ{\displaystyle x=a\แลมบ์ดา } และ y{\displaystyle y}เท่ากับฟังก์ชันละติจูดเท่านั้น ดังนั้น PMQK องค์ประกอบเล็ก ๆ บนทรงกลมฉายเป็นองค์ประกอบเล็ก ๆ P'M'Q'K ซึ่งเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่แน่นอนพร้อมฐานδx=δλ{\displaystyle \delta x=a\,\delta \lambda } และส่วนสูง δy{\displaystyle \delta y}. โดยการเปรียบเทียบองค์ประกอบบนทรงกลมและการฉายภาพ เราสามารถอนุมานนิพจน์สำหรับตัวประกอบมาตราส่วนบนเส้นขนานและเส้นเมอริเดียนได้ทันที (การรักษามาตราส่วนในทิศทางทั่วไปอาจพบด้านล่าง )
ตัวคูณสเกลคู่ขนาน k=δxcosφδλ=วินาทีφ{\displaystyle \quad k\;=\;{\dfrac {\delta x}{a\cos \varphi \,\delta \lambda \,}}=\,\sec \varphi \qquad \qquad {}}ตัวคูณมาตราส่วนเมริเดียน ห่า=δyδφ=y′(φ){\displaystyle \quad h\;=\;{\dfrac {\delta y}{a\,\delta \varphi \,}}={\dfrac {y'(\varphi )}{a}}}สังเกตว่าตัวประกอบมาตราส่วนขนาน k=วินาทีφ{\displaystyle k=\sec \varphi } เป็นอิสระจากคำจำกัดความของ y(φ){\displaystyle y(\varphi )}ดังนั้นการฉายภาพทรงกระบอกปกติทั้งหมดจึงเหมือนกัน มีประโยชน์ที่จะทราบว่า
ที่ละติจูด 30 องศา มาตราส่วนขนานคือ k=วินาที30∘=2/3=1.15{\displaystyle k=\sec 30^{\circ }=2/{\sqrt {3}}=1.15}ที่ละติจูด 45 องศา มาตราส่วนขนานคือ k=วินาที45∘=2=1.414{\displaystyle k=\sec 45^{\circ }={\sqrt {2}}=1.414}ที่ละติจูด 60 องศา มาตราส่วนขนานคือ k=วินาที60∘=2{\displaystyle k=\sec 60^{\circ }=2}ที่ละติจูด 80 องศา มาตราส่วนขนานคือ k=วินาที80∘=5.76{\displaystyle k=\sec 80^{\circ }=5.76}ที่ละติจูด 85 องศา มาตราส่วนขนานคือ k=วินาที85∘=11.5{\displaystyle k=\sec 85^{\circ }=11.5}ตัวอย่างต่อไปนี้แสดงให้เห็นถึงสามประมาณการทรงกระบอกปกติและในแต่ละกรณีการเปลี่ยนแปลงของขนาดกับตำแหน่งและทิศทางที่จะแสดงโดยใช้indicatrix Tissot ของ
สามตัวอย่างของการฉายภาพทรงกระบอกปกติ
การฉายภาพสี่เหลี่ยมจตุรัส
การฉายภาพที่เท่ากันกับตัว บ่งชี้การเสียรูปของ Tissot
ฉาย equirectangular , [1] [2] [4]ยังเป็นที่รู้จักจาน Carree (ฝรั่งเศสสำหรับ "สแควร์แบน") หรือ (ค่อนข้างทำให้เข้าใจผิด) ประมาณการเท่ากัน, จะถูกกำหนดโดย
x=λ,{\displaystyle x=a\แลมบ์ดา ,} y=φ,{\displaystyle y=a\varphi ,}ที่ไหน {\displaystyle a} คือรัศมีของทรงกลม λ{\ displaystyle \ lambda} คือ เส้นแวงจากเส้นเมริเดียนกลางของเส้นโครง (ในที่นี้เรียกว่า เส้นเมริเดียนกรีนิช at λ=0{\displaystyle \lambda =0}) และ φ{\displaystyle \varphi }คือละติจูด สังเกตว่าλ{\ displaystyle \ lambda} และ φ{\displaystyle \varphi } อยู่ในหน่วยเรเดียน (ได้จากการคูณหน่วยวัดดีกรีด้วยตัวประกอบของ พาย{\displaystyle \pi }/180). ลองจิจูดλ{\ displaystyle \ lambda} อยู่ในช่วง [-พาย,พาย]{\displaystyle [-\pi ,\pi ]} และละติจูด φ{\displaystyle \varphi } อยู่ในช่วง [-พาย/2,พาย/2]{\displaystyle [-\pi /2,\pi /2]}.
ตั้งแต่ y′(φ)=1{\displaystyle y'(\varphi )=1} ส่วนก่อนหน้านี้ให้
ขนาดขนาน k=δxcosφδλ=วินาทีφ{\displaystyle \quad k\;=\;{\dfrac {\delta x}{a\cos \varphi \,\delta \lambda \,}}=\,\sec \varphi \qquad \qquad {}}มาตราส่วนเมริเดียน ห่า=δyδφ=1{\displaystyle \quad h\;=\;{\dfrac {\delta y}{a\,\delta \varphi \,}}=\,1}การคำนวณขนาดจุดในทิศทางโดยพลการที่เห็นภาคผนวก
รูปภาพแสดงตัวบ่งชี้ Tissotสำหรับการฉายนี้ บนเส้นศูนย์สูตร h=k=1 และองค์ประกอบวงกลมจะไม่บิดเบี้ยวในการฉายภาพ ที่ละติจูดที่สูงขึ้น วงกลมจะถูกบิดเบี้ยวเป็นวงรีที่กำหนดโดยการยืดในทิศทางขนานเท่านั้น: ไม่มีการบิดเบือนในทิศทางเมริเดียน อัตราส่วนของแกนหลักต่อแกนรองคือวินาทีφ{\displaystyle \sec \varphi }. เห็นได้ชัดว่าพื้นที่ของวงรีเพิ่มขึ้นตามปัจจัยเดียวกัน
การพิจารณาการใช้เครื่องชั่งน้ำหนักแบบแท่งที่อาจปรากฏบนฉบับพิมพ์ของการฉายภาพนี้เป็นคำแนะนำที่ดี มาตราส่วนเป็นจริง (k=1) บนเส้นศูนย์สูตร ดังนั้นการคูณความยาวบนแผนที่ที่พิมพ์โดยผกผันของ RF (หรือมาตราส่วนหลัก) ให้เส้นรอบวงจริงของโลก มาตราส่วนแท่งบนแผนที่ยังวาดด้วยมาตราส่วนจริงด้วย ดังนั้นการถ่ายโอนการแยกระหว่างจุดสองจุดบนเส้นศูนย์สูตรไปยังมาตราส่วนแท่งจะให้ระยะห่างที่ถูกต้องระหว่างจุดเหล่านั้น เช่นเดียวกับเส้นเมอริเดียน บนเส้นขนานที่นอกเหนือจากเส้นศูนย์สูตร มาตราส่วนคือวินาทีφ{\displaystyle \sec \varphi }ดังนั้นเมื่อเราถ่ายโอนการแยกจากขนานกับมาตราส่วนแท่ง เราต้องแบ่งระยะมาตราส่วนแท่งด้วยปัจจัยนี้ เพื่อให้ได้ระยะห่างระหว่างจุดเมื่อวัดตามแนวขนาน (ซึ่งไม่ใช่ระยะทางจริงตามวงกลมใหญ่) บนเส้นที่แบริ่ง 45 องศา (β=45∘{\displaystyle \beta =45^{\circ }}) มาตราส่วนจะแปรผันไปตามละติจูดอย่างต่อเนื่อง และการถ่ายโอนการแยกไปตามเส้นไปยังมาตราส่วนแบบแท่งไม่ได้ให้ระยะทางที่เกี่ยวข้องกับระยะทางจริงด้วยวิธีง่ายๆ ใดๆ (แต่ดูภาคผนวก ). แม้ว่าเราจะสามารถหาระยะทางตามเส้นคงที่ซึ่งมีการแบกรับค่าคงที่นี้ ความเกี่ยวข้องของมันก็ยังเป็นที่น่าสงสัยเนื่องจากเส้นดังกล่าวบนเส้นโครงนั้นสอดคล้องกับเส้นโค้งที่ซับซ้อนบนทรงกลม ด้วยเหตุผลเหล่านี้จึงต้องใช้มาตราส่วนแท่งบนแผนที่ขนาดเล็กด้วยความระมัดระวังอย่างยิ่ง
การฉายภาพ Mercator ด้วยตัว บ่งชี้การเสียรูปของTissot (การบิดเบือนจะเพิ่มขึ้นโดยไม่มีการจำกัดที่ละติจูดที่สูงขึ้น)
การฉายภาพ Mercator จะจับคู่ทรงกลมกับรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า (มีขอบเขตอนันต์ในy{\displaystyle y}-ทิศทาง) โดยสมการ[1] [2] [4]
x=λ{\displaystyle x=a\lambda \,}y=ln[ตาล(พาย4+φ2)]{\displaystyle y=a\ln \left[\tan \left({\frac {\pi }{4}}+{\frac {\varphi }{2}}\right)\right]}ที่ไหน, λ{\displaystyle \lambda \,} และ φ{\displaystyle \varphi \,}ดังตัวอย่างที่แล้ว ตั้งแต่y′(φ)=วินาทีφ{\displaystyle y'(\varphi )=a\sec \varphi } ปัจจัยด้านขนาดคือ:
มาตราส่วนขนาน k=δxcosφδλ=วินาทีφ.{\displaystyle k\;=\;{\dfrac {\delta x}{a\cos \varphi \,\delta \lambda \,}}=\,\sec \varphi .}มาตราส่วนเมริเดียน ห่า=δyδφ=วินาทีφ.{\displaystyle h\;=\;{\dfrac {\delta y}{a\,\delta \varphi \,}}=\,\sec \varphi .}ในภาคผนวกทางคณิตศาสตร์แสดงให้เห็นว่ามาตราส่วนจุดในทิศทางใดก็ได้ก็เท่ากับวินาทีφ{\displaystyle \sec \varphi } ดังนั้นมาตราส่วนจึงเป็นไอโซโทรปิก (เท่ากันในทุกทิศทาง) ขนาดของมันจะเพิ่มขึ้นตามละติจูดเป็น วินาทีφ{\displaystyle \sec \varphi }. ในไดอะแกรม Tissot องค์ประกอบวงกลมขนาดเล็กแต่ละองค์ประกอบจะคงรูปร่างไว้ แต่จะถูกขยายมากขึ้นเรื่อยๆ เมื่อละติจูดเพิ่มขึ้น
การฉายภาพพื้นที่เท่ากันของแลมเบิร์ต
การฉายภาพพื้นที่เท่ากันของทรงกระบอกปกติของแลมเบิร์ตพร้อมตัว บ่งชี้การเสียรูปของ Tissot
การฉายภาพพื้นที่เท่ากันของแลมเบิร์ตจะจับคู่ทรงกลมกับสี่เหลี่ยมที่มีขอบเขตจำกัดโดยสมการ[1] [2] [4]
x=λy=บาปφ{\displaystyle x=a\lambda \qquad \qquad y=a\sin \varphi }ที่ไหน, λ{\ displaystyle \ lambda} และ φ{\displaystyle \varphi }ดังตัวอย่างที่แล้ว ตั้งแต่y′(φ)=cosφ{\displaystyle y'(\varphi )=\cos \varphi } ปัจจัยด้านขนาดคือ
มาตราส่วนขนาน k=δxcosφδλ=วินาทีφ{\displaystyle \quad k\;=\;{\dfrac {\delta x}{a\cos \varphi \,\delta \lambda \,}}=\,\sec \varphi \qquad \qquad {}}มาตราส่วนเมริเดียน ห่า=δyδφ=cosφ{\displaystyle \quad h\;=\;{\dfrac {\delta y}{a\,\delta \varphi \,}}=\,\cos \varphi }การคำนวณขนาดของจุดในทิศทางโดยพลการจะได้รับด้านล่าง
สเกลแนวตั้งและแนวนอนในตอนนี้จะชดเชยซึ่งกันและกัน (hk=1) และในไดอะแกรม Tissot องค์ประกอบวงกลมเล็กๆ แต่ละองค์ประกอบจะบิดเบี้ยวเป็นวงรีของพื้นที่เดียวกันกับวงกลมที่ไม่บิดเบี้ยวบนเส้นศูนย์สูตร
กราฟของตัวประกอบมาตราส่วน
กราฟแสดงการเปลี่ยนแปลงของตัวประกอบมาตราส่วนสำหรับสามตัวอย่างข้างต้น พล็อตบนสุดแสดงฟังก์ชันมาตราส่วน Mercator แบบไอโซโทรปิก: มาตราส่วนบนเส้นขนานจะเหมือนกับมาตราส่วนบนเส้นเมอริเดียน แปลงอื่นๆ แสดงตัวคูณมาตราส่วนเมริเดียนสำหรับการฉายภาพเส้นตรง (h=1) และสำหรับการฉายภาพพื้นที่เท่ากันของแลมเบิร์ต การคาดคะเนสองภาพสุดท้ายนี้มีมาตราส่วนคู่ขนานเหมือนกับพล็อต Mercator สำหรับ Lambert โปรดทราบว่ามาตราส่วนคู่ขนาน (ในขณะที่ Mercator A) เพิ่มขึ้นตามละติจูดและมาตราส่วนเมริเดียน (C) ลดลงตามละติจูดในลักษณะที่ hk=1 ซึ่งรับประกันการอนุรักษ์พื้นที่
มาตราส่วนจุด Mercator เป็นเอกภาพบนเส้นศูนย์สูตรเพราะเป็นทรงกระบอกเสริมที่ใช้ในการก่อสร้างนั้นสัมผัสกับโลกที่เส้นศูนย์สูตร ด้วยเหตุนี้การฉายภาพปกติจึงควรเรียกว่าการฉายภาพแทนเจนต์ มาตราส่วนแตกต่างกันไปตามละติจูดเป็นk=วินาทีφ{\displaystyle k=\sec \varphi }. ตั้งแต่วินาทีφ{\displaystyle \sec \varphi }มีแนวโน้มไม่มีที่สิ้นสุดเมื่อเราเข้าใกล้เสา แผนที่ Mercator จะบิดเบี้ยวอย่างไม่มีการลดที่ละติจูดสูงและด้วยเหตุนี้ การฉายภาพจึงไม่เหมาะสมกับแผนที่โลกโดยสิ้นเชิง (เว้นแต่ว่าเรากำลังพูดถึงการนำทางและเส้นรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน ) อย่างไรก็ตาม ที่ละติจูดประมาณ 25 องศา ค่าของวินาทีφ{\displaystyle \sec \varphi }มีค่าประมาณ 1.1 ดังนั้น Mercator จึงแม่นยำภายใน 10% ในแถบกว้าง 50 องศาที่มีศูนย์กลางอยู่ที่เส้นศูนย์สูตร แถบที่แคบกว่าจะดีกว่า: แถบความกว้าง 16 องศา (ศูนย์กลางที่เส้นศูนย์สูตร) นั้นแม่นยำภายใน 1% หรือ 1 ส่วนใน 100
เกณฑ์มาตรฐานสำหรับแผนที่ขนาดใหญ่ที่ดีคือความแม่นยำควรอยู่ภายใน 4 ส่วนใน 10,000 หรือ 0.04% ซึ่งสอดคล้องกับ k=1.0004{\displaystyle k=1.0004}. ตั้งแต่วินาทีφ{\displaystyle \sec \varphi } ได้ค่านี้ที่ φ=1.62{\displaystyle \varphi =1.62}องศา (ดูรูปด้านล่างเส้นสีแดง) ดังนั้น การฉายภาพแทนเจนต์ Mercator จึงมีความแม่นยำสูงภายในแถบความกว้าง 3.24 องศาที่มีศูนย์กลางอยู่ที่เส้นศูนย์สูตร ซึ่งสอดคล้องกับระยะทางเหนือ-ใต้ประมาณ 360 กม. (220 ไมล์) ภายในแถบนี้ Mercator นั้นดีมาก แม่นยำสูง และคงรูปร่างไว้ได้ เนื่องจากเป็นแบบ Conformal (รักษามุม) การสังเกตเหล่านี้กระตุ้นให้เกิดการพัฒนาของการคาดหมาย Mercator ตามขวาง ซึ่งเส้นเมริเดียนได้รับการปฏิบัติ 'เหมือนเส้นศูนย์สูตร' ของการฉายภาพ เพื่อให้เราได้แผนที่ที่แม่นยำภายในระยะที่แคบของเส้นเมอริเดียนนั้น แผนที่ดังกล่าวเป็นสิ่งที่ดีสำหรับประเทศเกือบชิดทิศตะวันตกเฉียงใต้ (เช่นสหราชอาณาจักร ) และชุดของ 60 แผนที่ดังกล่าวจะใช้สำหรับยูนิเวอร์แซขวาง Mercator (UTM) โปรดทราบว่าในการคาดการณ์ทั้งสองนี้ (ซึ่งอิงจากทรงรีต่างๆ) สมการการแปลงสำหรับ x และ y และนิพจน์สำหรับตัวประกอบมาตราส่วนเป็นฟังก์ชันที่ซับซ้อนของทั้งละติจูดและลองจิจูด
ความแปรผันของมาตราส่วนใกล้เส้นศูนย์สูตรสำหรับเส้นโครงแทนเจนต์ (สีแดง) และซีแคนต์ (สีเขียว) Mercator
ซีแคนต์หรือแก้ไข ประมาณการ
แนวคิดพื้นฐานของการฉายภาพซีแคนต์คือ ทรงกลมถูกฉายไปยังทรงกระบอกที่ตัดกับทรงกลมสองแนวขนานกัน กล่าวคือ φ1{\ displaystyle \ varphi _ {1}}เหนือและใต้ เห็นได้ชัดว่าสเกลเป็นจริงแล้วในละติจูดเหล่านี้ ในขณะที่เส้นขนานที่อยู่ใต้ละติจูดเหล่านี้หดตัวโดยการฉายภาพ และแฟคเตอร์สเกล (ขนาน) ต้องน้อยกว่าหนึ่ง ผลที่ได้คือความเบี่ยงเบนของมาตราส่วนจากความสามัคคีลดลงในช่วงละติจูดที่กว้างขึ้น
ตัวอย่างเช่น การฉายภาพซีแคนต์ Mercator ที่เป็นไปได้หนึ่งรายการถูกกำหนดโดย
x=0.9996λy=0.9996ln(ตาล(พาย4+φ2)).{\displaystyle x=0.9996a\lambda \qquad \qquad y=0.9996a\ln \left(\tan \left({\frac {\pi }{4}}+{\frac {\varphi }{2}} \right)\right).}ตัวคูณตัวเลขไม่ได้เปลี่ยนรูปร่างของการฉายภาพ แต่หมายความว่าตัวประกอบมาตราส่วนถูกแก้ไข:
มาตราส่วน Mercator secant, k=0.9996วินาทีφ.{\displaystyle \quad k\;=0.9996\sec \varphi .}ดังนั้น
- มาตราส่วนบนเส้นศูนย์สูตรคือ 0.9996
- มาตราส่วนคือk = 1 ที่ละติจูดที่กำหนดโดยφ1{\ displaystyle \ varphi _ {1}} ที่ไหน วินาทีφ1=1/0.9996=1.00004{\displaystyle \sec \varphi _{1}=1/0.9996=1.000004} ดังนั้น φ1=1.62{\displaystyle \varphi _{1}=1.62} องศา
- k=1.0004 ที่ละติจูด φ2{\ displaystyle \ varphi _ {2}} มอบให้โดย วินาทีφ2=1.0004/0.9996=1.0008{\displaystyle \sec \varphi _{2}=1.0004/0.9996=1.0008} ซึ่ง φ2=2.29{\displaystyle \varphi _{2}=2.29}องศา ดังนั้นการฉายภาพจึงมี1<k<1.0004{\displaystyle 1นั่นคือความแม่นยำ 0.04% บนแถบกว้าง 4.58 องศา (เทียบกับ 3.24 องศาสำหรับรูปแบบแทนเจนต์)
นี่คือภาพประกอบโดยเส้นโค้งล่าง (สีเขียว) ในรูปของส่วนก่อนหน้า
โซนแคบที่มีความแม่นยำสูงดังกล่าวถูกนำมาใช้ในการฉาย UTM และ British OSGB ซึ่งทั้งสองส่วนเป็นซีแคนต์ ขวาง Mercator บนทรงรีที่มีมาตราส่วนบนค่าคงที่เมริเดียนกลางที่ k0=0.9996{\displaystyle k_{0}=0.9996}. เส้น isoscale กับk=1{\displaystyle k=1}เป็นเส้นโค้งเล็กน้อยประมาณ 180 กม. ทางตะวันออกและตะวันตกของเส้นเมริเดียนกลาง ค่าสูงสุดของตัวคูณมาตราส่วนคือ 1.001 สำหรับ UTM และ 1.0007 สำหรับ OSGB
เส้นของมาตราส่วนหน่วยที่ละติจูด φ1{\ displaystyle \ varphi _ {1}}(เหนือและใต้) โดยที่พื้นผิวฉายภาพทรงกระบอกตัดกับทรงกลม เป็นเส้นมาตรฐานของการฉายภาพตัดขวาง
ในขณะที่วงแคบกับ |k-1|<0.0004{\displaystyle |k-1|<0.0004}เป็นสิ่งสำคัญสำหรับการทำแผนที่ที่มีความแม่นยำสูงในขนาดใหญ่ สำหรับแผนที่โลกขนานมาตรฐานที่มีระยะห่างกว้างกว่ามากใช้เพื่อควบคุมความแปรผันของมาตราส่วน ตัวอย่างคือ
- Behrmann พร้อมแนวขนานมาตรฐานที่ 30N, 30S
- Gall พื้นที่เท่ากันกับเส้นขนานมาตรฐานที่ 45N, 45S
ความแปรผันของมาตราส่วนสำหรับระยะเท่ากันของ Lambert (สีเขียว) และ Gall (สีแดง)
ตารางมาตราส่วนสำหรับส่วนหลังแสดงไว้ด้านล่างเมื่อเปรียบเทียบกับปัจจัยมาตราส่วนพื้นที่ที่เท่ากันของ Lambert ในระยะหลังเส้นศูนย์สูตรเป็นเส้นขนานมาตรฐานเดียวและมาตราส่วนขนานเพิ่มขึ้นจาก k=1 เพื่อชดเชยการลดลงของมาตราส่วนเมริเดียน สำหรับน้ำดีมาตราส่วนขนานจะลดลงที่เส้นศูนย์สูตร (เป็น k=0.707) ในขณะที่มาตราส่วนเส้นเมอริเดียนเพิ่มขึ้น (เป็น k=1.414) สิ่งนี้ทำให้เกิดการบิดเบี้ยวของรูปร่างโดยรวมในการฉายภาพ Gall-Peters (ในโลกของทวีปแอฟริกานั้นกว้างใหญ่ไพศาล) โปรดทราบว่าเส้นเมอริเดียนและมาตราส่วนขนานเป็นเอกภาพบนเส้นขนานมาตรฐาน
ภาคผนวกทางคณิตศาสตร์
องค์ประกอบเล็ก ๆ บนทรงกลมและการฉายภาพทรงกระบอกปกติ
สำหรับการฉายภาพทรงกระบอกปกติ เรขาคณิตขององค์ประกอบที่เล็กที่สุดจะให้
(ก)ตาลα=cosφδλδφ,{\displaystyle {\text{(a)}}\quad \tan \alpha ={\frac {a\cos \varphi \,\delta \lambda }{a\,\delta \varphi }},}(ข)ตาลβ=δxδy=δλδy.{\displaystyle {\text{(b)}}\quad \tan \beta ={\frac {\delta x}{\delta y}}={\frac {a\,\delta \lambda }{\delta y }}.}ความสัมพันธ์ระหว่างมุม β{\displaystyle \beta } และ α{\displaystyle \alpha } คือ
(ค)ตาลβ=วินาทีφy′(φ)ตาลα.{\displaystyle {\text{(c)}}\quad \tan \beta ={\frac {a\sec \varphi }{y'(\varphi )}}\tan \alpha .\,}สำหรับการฉายภาพ Mercator y′(φ)=วินาทีφ{\displaystyle y'(\varphi )=a\sec \varphi } ให้ α=β{\displaystyle \alpha =\beta }: รักษามุมไว้ (แทบไม่น่าแปลกใจเลยเพราะนี่คือความสัมพันธ์ที่ใช้ในการสร้าง Mercator) สำหรับการประมาณการที่เท่ากันและ Lambert เรามีy′(φ)={\displaystyle y'(\varphi )=a} และ y′(φ)=cosφ{\displaystyle y'(\varphi )=a\cos \varphi } ตามลำดับ ดังนั้นความสัมพันธ์ระหว่าง α{\displaystyle \alpha } และ β{\displaystyle \beta } ขึ้นอยู่กับละติจูด φ{\displaystyle \varphi }. ระบุมาตราส่วนจุดที่ P เมื่อองค์ประกอบที่เล็กที่สุด PQ สร้างมุมα{\ displaystyle \ alpha \,} กับเส้นเมอริเดียนโดย μα.{\displaystyle \mu _{\alpha }.} กำหนดโดยอัตราส่วนระยะทาง:
μα=ลิมคิว→พีพี′คิว′พีคิว=ลิมคิว→พีδx2+δy22δφ2+2cos2φδλ2.{\displaystyle \mu _{\alpha }=\lim _{Q\to P}{\frac {P'Q'}{PQ}}=\lim _{Q\to P}{\frac {\sqrt { \delta x^{2}+\delta y^{2}}}{\sqrt {a^{2}\,\delta \varphi ^{2}+a^{2}\cos ^{2}\varphi \,\delta \lambda ^{2}}}}.}การตั้งค่า δx=δλ{\displaystyle \delta x=a\,\delta \lambda } และแทนที่ δφ{\displaystyle \delta \varphi } และ δy{\displaystyle \delta y} จากสมการ (a) และ (b) ให้ตามลำดับ
μα(φ)=วินาทีφ[บาปαบาปβ].{\displaystyle \mu _{\alpha }(\varphi )=\sec \varphi \left[{\frac {\sin \alpha }{\sin \beta }}\right].}สำหรับการคาดการณ์อื่นที่ไม่ใช่ Mercator เราต้องคำนวณก่อน β{\displaystyle \beta } จาก α{\displaystyle \alpha } และ φ{\displaystyle \varphi } โดยใช้สมการ (c) ก่อนที่เราจะหาได้ μα{\displaystyle \mu _{\alpha }}. ตัวอย่างเช่น การฉายภาพมุมฉากมีy′={\displaystyle y'=a} ดังนั้น
ตาลβ=วินาทีφตาลα.{\displaystyle \tan \beta =\sec \varphi \tan \alpha .\,}หากเราพิจารณาเส้นความชันคงที่ β{\displaystyle \beta } ในการฉายภาพทั้งค่าที่สอดคล้องกันของ α{\displaystyle \alpha } และตัวประกอบมาตราส่วนตามแนวเส้นเป็นหน้าที่ที่ซับซ้อนของ φ{\displaystyle \varphi }. ไม่มีวิธีง่ายๆ ในการถ่ายโอนการแยกแบบจำกัดทั่วไปไปยังมาตราส่วนแบบแท่งและได้ผลลัพธ์ที่มีความหมาย
แม้ว่าเครื่องหมายทวิภาคมักใช้เพื่อแสดงอัตราส่วน แต่Unicodeสามารถแสดงสัญลักษณ์เฉพาะของอัตราส่วน โดยจะเพิ่มขึ้นเล็กน้อย: U+ 2236 ∶ RATIO (HTML ∶ · &ratio )