จากที่ทอร์กของแรงโน้มถ่วงจะเท่ากับมวลที่จุดศูนย์กลางมวล จะได้ว่า ทอร์กของแรงโน้มถ่วงที่กระทำกับแกนที่ผ่านจุดแขวนคานที่ห่างจากจุดศูนย์กลางไป kd ขณะคานทำมุม θ กับแนวตั้ง จะเท่ากับ
\({\tau _{\rm{p}}}=\rm - mg~k~d ~sin \theta\) --- (1)
ให้ p ที่ห้อยอยู่หมายถึง จุดหมุน จากนั้นเราจะใช้ทฤษฎีบทของแกนขนานหาความเฉื่อยในการหมุนรอบจุดหมุน จะได้ว่า\(\rm I_p = I_{cm} + mh^2 = md^2 + m (kd)^2\)
\(\rm I_p = md^2 (1+k^2) \) --- (2)
จากนั้นใช้กฎข้อที่สองของนิวตันหาการหมุนของแกนที่ผ่านจุดหมุน สังเกตว่าแรงที่จุดหมุนไม่ได้ทำให้เกิดทอร์กกับแกนที่ผ่านจุดหมุนเลย เมื่อใช้สมการที่ (1) และ (2) จะได้ว่า\(\begin{align*} {\tau _{\rm{p}}} &=\rm I{{\rm{ }}_{\rm{p}}}{\rm{\alpha }}\\ \rm - mg~k~d ~sin \theta &= \rm m{{\rm{d}}^{\rm{2}}}\left( {{\rm{1 + }}{{\rm{k}}^{\rm{2}}}} \right)\frac{{{{\rm{d}}^{\rm{2}}}{\rm{\theta }}}}{{{\rm{d}}{{\rm{t}}^{\rm{2}}}}} \end{align*}\)
เมื่อมุมที่เกิดการสั่นนั้นเล็กมาก จะได้ว่า sin θ ≈ θ จึงได้
\(\dfrac{{{{\rm{d}}^2}{\rm{\theta }}}}{{{\rm{d}}{{\rm{t}}^2}}} = - \dfrac{{{\rm{gk}}}}{{{\rm{d(1 + }}{{\rm{k}}^{\rm{2}}}{\rm{)}}}}{\rm{\theta }}\)
เนื่องจากวัตถุสั่นด้วยความถี่เชิงมุม ω ดังนั้น การเคลื่อนที่ของวัตถุจะเป็นไปตามสมการเชิงอนุพันธ์
\(\dfrac{{{{\rm{d}}^2}{\rm{\theta }}}}{{{\rm{d}}{{\rm{t}}^2}}} = - {{\rm{\omega }}^2}{\rm{\theta }}\)
เราจะได้
\({\rm{\omega = }}\sqrt {\dfrac{{{\rm{gk}}}}{{{\rm{d(1 + }}{{\rm{k}}^{\rm{2}}}{\rm{)}}}}} = \sqrt {\dfrac{{\rm{k}}}{{{\rm{(1 + }}{{\rm{k}}^{\rm{2}}}{\rm{)}}}}} \sqrt {\dfrac{{\rm{g}}}{{\rm{d}}}} \)
จากโจทย์ให้ \({\rm{\omega }} = \beta \sqrt {\dfrac{{\rm{g}}}{{\rm{d}}}}\) ดังนั้น \(\beta = \sqrt {\dfrac{{\rm{k}}}{{{\rm{(1 + }}{{\rm{k}}^{\rm{2}}}{\rm{)}}}}} \)เราจะต้องหาค่า k ที่ทำให้ β มีค่าสูงสุด โดยการหาอนุพันธ์เทียบ k ทั้งสองข้างจะได้
\({\rm{2\beta }}\dfrac{{{\rm{d\beta }}}}{{{\rm{dk}}}}{\rm{ = }}\dfrac{{{\rm{(1 + }}{{\rm{k}}^{\rm{2}}}{\rm{)}} - {\rm{k(2k)}}}}{{{{{\rm{(1 + }}{{\rm{k}}^{\rm{2}}}{\rm{)}}}^{\rm{2}}}}}{\rm{ = }}\dfrac{{{\rm{1}} - {{\rm{k}}^{\rm{2}}}}}{{{{{\rm{(1 + }}{{\rm{k}}^{\rm{2}}}{\rm{)}}}^{\rm{2}}}}}\)
ตามความเข้าใจของนิวตัน อวกาศเป็นบริเวณว่างเปล่า มีมวลรวมกันเป็นก้อนเกิดเป็นวัตถุ เช่น ดาวเคราะห์และดาวฤกษ์ ดาวเคราะห์และดาวฤกษ์เหล่านี้ดึงดูดซึ่งกันและกัน เป็นต้นว่า โลกดึงดูดดวงจันทร์ และดวงจันทร์ดึงดูดโลก ปัญหามีอยู่ว่าโลกดึงดูดดวงจันทร์โดยไม่มีตัวกลางหรือสื่อกลางระหว่างโลกและดวงจันทร์ได้อย่างไร
ในกรณีโลกดึงดูดวัตถุนั้น เกิดจากโลกแผ่สนามของแรงออกไปรอบ ๆ เรียกว่า สนามโน้มถ่วง (Gravitational field) สนามโน้มถ่วงทำให้เกิดแรงดึงดูดกระทำต่อมวลของวัตถุทั้งหลาย แรงดึงดูดนี้เรียกว่า แรงโน้มถ่วง (Gravitational force)
คุณครู Qanda - พี่มิววว
นักเรียน
ตอบ ก. รึเปล่าครับ เรื่องนี้ผมไม่ค่อยเข้าใจ
คุณครู Qanda - พี่มิววว
คือ อยากจะบอกว่ามันไม่มีในช้อยครับ
ก็ไม่มั่นใจว่าใครผิด
แต่ครูเช็ควิธีครูแล้วนะครับ
นักเรียน
ไม่เป็นไรครับคุณครู ขอบคุณครับ เดี๋ยวผมเอากลับไปคิดอีกรอบดูครับ
คุณครู Qanda - พี่มิววว
ครับ