ความเท่ากันทุกประการของเรขาคณิต

สรุปเรื่องความเท่ากันทุกประการ วิชาคณิตศาสตร์ชั้น ม.2

บทที่ 5

ความเท่ากันทุกประการ

1. ความเท่ากันทุกประการของรูปเรขาคณิต
                         บทนิยามคือ รูปเรขาคณิตสองรูปเท่ากันทุกประการ ก็ต่อเมื่อ เคลื่อนที่รูปหนึ่งไปทับอีกรูปหนึ่งได้สนิท
     ความหมายของบทนิยามคือ " ถ้ารูปเรขาคณิตสองรูปเท่ากันทุกประการ แล้วจะเคลื่อนที่รูปเรขาคณิต
รูปหนึ่งไปทับอีกรูปหนึ่งได้สนิท และ ถ้าเคลื่อนที่รูปเรขาคณิตไปทับอีกรูปหนึ่งได้สนิท แล้วรูปเรขาคณิต
สองรูปนั้นจะเท่ากันทุกประการ
  2. ความเท่ากันทุกประการของส่วนของเส้นตรง
                          บทนิยามคือ ส่วนของเส้นตรงสองเส้นเท่ากันทุกประการ ก็ต่อเมื่อ ส่วนของเส้นตรง
ทั้งสองเส้นนั้นยาวเท่ากัน
          ความหมายของบทนิยามคือ ถ้าส่วนของเส้นตรงทั้งสองเส้นเท่ากันทุกประการแล้วส่วนของเส้นต้นทั้งสองเส้นนั้นยาวเท่ากัน และ ถ้าส่วนของเส้นตรงทั้งสองเส้นยาวเท่ากันแล้วส่วนของเส้นตรงทั้งสองเส้นนั้นเท่ากันทุกประการ
   3. ความเท่ากันทุกประการของมุม
                          บทนิยามคือ มุมสองมุมเท่ากันทุกประการ ก็ต่อเมื่อ มุมทั้งสองมุมนั้นมีขนาดเท่ากัน
            ความหมายของบทนิยามคือ ถ้ามุมสองมุมเท่ากันทุกประการแล้วมุมสองมุมนั้นมีขนาดเท่ากัน และ ถ้ามุมสองมุมมีขนาดเท่ากันแล้วมุมสองมุมนั้นเท่ากันทุกประการ
สมบัติอื่นๆของความเท่ากันทุกประการ
1. สมบัติสะท้อน   : รูป A เท่ากันทุกประการกับ รูป A
2. สมบัติสมมาตร  : ถ้ารูป A เท่ากันทุกประการกับ รูป B แล้วรูป B เท่ากันทุกประการกับ รูป A
3. สมบัติถ่ายทอด : ถ้ารูป A เท่ากันทุกประการกับ รูป B และรูป B เท่ากันทุกประการกับ รูป C
                               แล้วรูป A เท่ากันทุกประการกับ รูป C

การสะท้อน การเลื่อนขนาน และการหมุน เป็นตัวอย่างของการเคลื่อนที่ รูปเรขาคณิตซึ่งเป็นการแปลงตำแหน่งของรูปเรขาคณิตบนระนาบโดยที่ระยะระหว่างจุดสองจุดใด ๆของรูปนั้นไม่เปลี่ยนแปลง  หมายความถึงว่า รูปร่างและขนาดของรูปเรขาคณิตที่เคลื่อนที่นั้นไม่เปลี่ยนแปลง

ในทางคณิตศาสตร์เมื่อสามารถเคลื่อนที่รูปเรขาคณิตรูปหนึ่งไปทับรูปเรขาคณิตอีกรูปหนึ่งได้สนิท จะกล่าวว่ารูปเรขาคณิตสองรูปนั้น เท่ากันทุกประการ ซึ่งเป็นไปตามบทนิยามของความเท่ากันทุกประการของรูปเรขาคณิตบนระนาบ

บทนิยาม      รูปเรขาคณิตสองรูป เท่ากันทุกประการ ก็ต่อเมื่อ เคลื่อนที่รูปหนึ่งไปทับอีกรูปหนึ่งได้สนิท

เมื่อรูปเรขาคณิต A และรูปเรขาคณิตB เท่ากันทุกประการ

จะเขียนว่ารูป A ≅ รูป B  อ่านว่า รูป A เท่ากันทุกประการกับรูป B หรือรูป A และ รูป B เท่ากันทุกประการ

สัญลักษณ์ ≅ แทนคำว่า เท่ากันทุกประการกับ

สัญลักษณ์ ≅ มาจากสัญลักษณ์ ~ ซึ่งแสดงถึง การมีรูปร่างเหมือนกัน

สัญลักษณ์ = ซึ่งแสดงถึง การมีขนาดเท่ากัน

สร้างเส้นตรงสองเส้น AB และ CD

A                                   B                  C                            D

ถ้าส่วนของเส้นตรงสองเส้นยาวเท่ากันแล้วส่วนของเส้นตรงทั้งสองเส้นนั้นเท่ากันทุกประการ

ถ้า AB ≅ AB แล้ว AB = CD และ  ถ้าAB = CD แล้วAB ≅ AB

ความเท่ากันทุกประการของมุม

หลักการ

มุมสองมุมเท่ากันทุกประการ ก็ต่อเมื่อ มุมทั้งสองมุมนั้นมีขนาดเท่ากัน

รูปสามเหลี่ยมสองรูปที่สัมพันธ์กันแบบ ด้าน-มุม-ด้าน

หลักการ

ถ้ารูปสามเหลี่ยมสองรูปมีความสัมพันธ์กันแบบ     ด้าน-มุม-ด้าน (ด.ม.ด.) กล่าวคือ มีด้านยาวเท่ากันสองคู่ และมุมในระหว่างด้านคู่ที่ยาวเท่ากันมีขนาดเท่ากัน แล้วรูปสองรูปนั้นเท่ากันทุกประการ

ดังนั้น 

รูปสามเหลี่ยมสองรูปที่สัมพันธ์กันแบบ มุม-ด้าน-มุม

หลักการ

ถ้ารูปสามเหลี่ยมสองรูปมีความสัมพันธ์กันแบบ       มุม-ด้าน-มุม (ม.ด.ม.) กล่าวคือ มีมุมที่มีขนาดเท่ากันสองคู่ และด้านที่เป็นแขนร่วมยาวเท่ากัน แล้วรูปสองรูปนั้นเท่ากันทุกประการ

ตัวอย่าง

วิธีทำ

ดังนั้น 

รูปสามเหลี่ยมสองรูปที่สัมพันธ์กันแบบ ด้าน-ด้าน-ด้าน

หลักการ

ถ้ารูปสามเหลี่ยมสองรูปมีความสัมพันธ์กันแบบ       ด้าน-ด้าน-ด้าน (ด.ด.ด.) กล่าวคือ มีด้านยาวเท่ากันเป็นคู่ ๆ สามคู่ แล้วรูปสองรูปนั้นเท่ากันทุกประการ

ตัวอย่าง

วิธีทำ

ดังนั้น  

สมบัติของรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่วและสามารถนำไปใช้อ้างอิงได้ดังนี้

1.  เส้นแบ่งครึ่งมุมออกเป็นรูปสามเหลี่ยมสองรูปที่เท่ากันทุกประการ

2. มุมที่ฐานของรูปสามเหลี่ยม   หน้าจั่วมีขนาดเท่ากัน

3. เส้นแบ่งครึ่งมุมยอดของสามเหลี่ยมหน้าจั่วจะแบ่งครึ่งฐานของรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่ว

4.  เส้นแบ่งครึ่งมุมยอดของสามเหลี่ยมหน้าจั่ว จะตั้งฉากกับฐานของรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่ว

5. เส้นที่ลากจากมุมยอดของรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่วมาแบ่งครึ่งฐานจะแบ่งครึ่งมุมยอดของสามเหลี่ยมหน้าจั่ว

6. เส้นที่ลากจากมุมยอดของ         รูปสามเหลี่ยมหน้าจั่วมาแบ่งครึ่งฐาน จะตั้งฉากกับฐานของรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่ว